Posons

el

U est alors l'énergie totale du système.

En dérivant la première de ces égalités par rapport à pa, nous obtenons

c/H d<l> __ dL .

dpa ~ dpa dpa '

RÉDUCTION DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE 395 ' la dérivation par rapport h qa nous donne

d\\ dL

aqa ~ dqa

puisque <î> ne dépend pas des q. De ces égalités tirons les dérivées de L par rapport à pa et qa, puis portons les valeurs trouvées dans l'équation (1) ; nous avons

rfH

dqa +

dpa ~

Posons maintenant

du

dqa ~

dL

' dqa ~

sa et les quantités «;,, ..., définies par des équations analogues, sont des fonctions des/) et des q. Nous pouvons donc considérer U comme une fonction des p et des s, H restant toujours regardé comme une fonction desp et des q. Les égalités (3) et (4) nous donnent pour cette fonction U,

ou, d'après les relations (2) et (G),

U = H 4- 2?asa.

De cette nouvelle égalité il résulte, en prenant la différentielle totale des deux membres,

dp ""r ' ^J dq

Mais d'après (6)

VI dH , „ ,

2j d7L dq = - -sdrj ;

par conséquent, l'égalité précédente se réduit à

Nous

déduisons

de

là

(1±L ËiL.

et

313. L'expression du principe de la conservation de l'énergie se déduit immédiatement des relations (8) et (9). Ces relations nous donnent

d\J (lSa p

dpa ~ dt

f/U __ dpa.

IL ~~ q" ~ Ht

Par conséquent

-»*-SS++Sf*

ou

rf(J = - SP8dpa.

La variation de l'énergie totale du système est donc égal* au travail des forces extérieures au système : c'est bien l'énoncé du principe de la conservation de l'énergie.