Hypothèses sur la nature des paramètres

Helmholtz admet que les paramètres qui définissent la situation du système peuvent se diviser en deux classes suivant la manière dont ils varient avec le temps ; ceux de l'une d'elles varient très lentement, ceux de l'autre varient au contraire très rapidement. Nous désignerons les premiers paramètres parpa, les seconds par ph .

Cette hypothèse semble assez naturelle. Ainsi les mouvements moléculaires dus à réchauffement d'un corps ont des vitesses incomparablement plus grandes que celles que nous pouvons communiquer à l'ensemble du corps. Les paramètres qui définissent les positions relatives des molécules varient donc rapidement; au contraire, ceux qui fixent la position du corps dans l'espace sont à variation lente.

31 5. Helmholtz fait ensuite une autre hypothèse qui pourrait sembler plus difficile à accepter. Il admet que la fonction <p ne dépend pas des paramètres pb et que dans la fonction L ces paramètres n'entrent que par leurs dérivées g1*.

On peut donner certains exemples simples empruntés à la mécanique élémentaire et où cette hypothèse se trouve réalisée.

Ainsi considérons une poulie mobile autour de son axe. La position de la poulie peut être définie par l'angle p/, que fait un plan fixe dans l'espace avec un plan passant par un point de la poulie et par l'axe de celle-ci ; po est donc un des paramètres du système. La demi-force vive de ce système est,

égale au produit du moment d'inertie de la poulie par le carré de la vitesse angulaire; le moment d'inertie ne dépend pas de

Pt, ; la vitesse angulaire est qb = -y* > par suite, la demiforce vive ne dépend que de (^et non du paramètre p/,. D'autre part, le centre de gravité de la poulie étant sur l'axe de rotation, l'énergie potentielle ne varie pas; elle est donc indépendante de pb.

Prenons un autre exemple. Considérons un canal circulaire parcouru par un liquide et supposons le régime permanent établi. On peut définir la position du système par l'angle pb formé par un diamètre du canal, fixe dans l'espace, et un diamètre passant par une des molécules du liquide. Mais ni l'énergie potentielle ni l'énergie cinétique ne dépendent de ce paramètre, car ces quantités restent constantes. En effet, le régime permanent étant établi, une molécule est immédiatement remplacée par une autre dès que la première s'est déplacée ; la force vive ne varie donc pas; en outre, le travail des forces intérieures est nul et par suite l'énergie potentielle conserve la même valeur.

Il résulte de ces exemples que l'hypothèse de Helmhollzest exacte dans le cas de corps tournant autour d'un axe; elle paraît donc applicable aux mouvements tourbillonnaires des molécules. Peut-elle encore s'appliquer au cas où les molécules des corps se déplacent reclilignement de part et d'autre d'un point fixe? C'est ce que nous examinerons plus loin.

316. Admettons l'hypothèse de Helmholtz et continuons l'exposé de la théorie de ce savant.

Puisque <I> et L sont supposés indépendants des paramètres Po, H n'en dépendra pas non plus. Nous aurons donc, d'après

l'équation (5),

d dtt = p^ dt d<ji,

ou, d'après la définition des fonctions s,

dt ~ °-

Le travail extérieur correspondant au paramètre considéré est — Pbdpb, pour une variation dpb de ce paramètre. Exprimée en fonction de l'intervalle de temps dt cette variation est

-^~ dt ou q/jdt. Par conséquent le travail extérieur peut

s'écrire — Pbqbdt. Helmholtz pose

dQ„ = — P,.qbdt.

Si, dans cette égalité nous remplaçons Pb par sa valeur tirée de l'équation précédente, il vient

(10) dQ0 = qb -~ dt — qbdsb.

Telle est l'équation relative aux paramètres variant très

rapidement.

Occupons-nous des paramètres qui varient lentement et

...... d dR

montrons que pour ceux-ci la dérivée -- — — peut être ne-

gligée.

D'après les égalités (6) nous avons

dtt dL dqa ~ dqa

Or L est une fonction homogène et du second degré par

rapport aux q„ et q0 ; - — est donc formée de termes de la dqa

forme Kqaqa- et Bq^c/b- Par suite la dérivée de cette quantité

par rapport au temps -— -j— ne contient que des termes de In forme

. dqa- v, dqa, dqb

Mais, puisque les paramètres pa varient très lentement, q„j et qa- sont très petits et les dérivées de ces quantités par rapport à t sont également très petites; nous pouvons donc négliger les termes des deux premières formes puisqu'ils contiennent le produit de deux quantités très petites. Nous pouvons également négliger les termes de la troisième forme, mais à une condition: c'est que nous supposerons très petite

la dérivée —j1 de la quantité finie qb. (Ainsi si, pour fixer les

idées, nous revenons à la poulie qui nous servait tout à l'heure d'exemple, cela revient à supposer que la vitesse angulaire de cette poulie est très grande, mais sensiblement constante.)

Cette hypothèse étant admise, tous les termes de -r -; — Jl dt dqa

seront négligeables.

Nous avons alors, pour l'équation relative aux paramètres/),,,

dp.- " obtenue en négligeant le premier terme de l'équation (5).