H' = II
Prenons maintenant les dérivées de ces fonctions par rapport à }),, ; nous avons
dpa ~ c/pa ' -^ t"//V rfpa
Or, d'après la relation (14),
par conséquent
dpc
dW d\\
dpa ~~ dpa
Les équations de Lagrange relatives aux paramètres à variation lente conservent donc la même forme : la forme (il). Prenons la dérivée par rapport à qb; nous avons
dW rfll , ^ d[\ dpc .
dpb dqt, — J cfpe '7'//,
et, par suite, pour la même raison que précédemment,
dW tfH etyi ~~ dqb
De cette égalité et des égalités (6) il résulte immédiatement que la fonction sb reste la même, soit que les paramètres pc entrent explicitement dans le nombre de ceux qui définissent la situation du système, soit qu'ils n'en fassent pas partie. Par conséquent, dans un cas comme dans l'autre, les équa-
tions de Lagrange relatives aux paramètres à variation rapide sont de la forme (10)
f/IJz, = qbdsb.
La forme des équations restant la même, il est évident que
dans le cas d'un système monocyclique le facteur =- sera un facteur intégrant de clQ.
319. Les systèmes incomplets ne diffèrent donc que peu des systèmes complets. Toutefois il est une propriété importante qui les dislingue.
L'énergie cinétique L est en général une fonction homogène du second degré des qb et des qa; elle dépend en outre des paramètres à variation lente. Or nous venons de voir que dans les systèmes incomplets une partie de ces paramètres, les paramètres pc, sont des fonctions des qb et despa. Par conséquent, si nous remplaçons dans L les pc par leurs expressions en fonctions des qb, L cessera d'être du second degré par rapport au qb ; elle pourra donc être d'un degré impair par rapport à ces dérivées et, par suite, d'un degré impair par rapport au temps. Nous verrons bientôt l'importance de celte remarque.
L'exemple le plus simple que l'on puisse citer est celui d'une poulie sur l'axe de laquelle est monté un régulateur à force centrifuge. Quand la vitesse de la poulie augmente, les boules du régulateur s'écartent et le moment d'inertie du système augmente.
La force vive n'est donc pas proportionnelle au carré de la vitesse angulaire, puisqu'elle est égale au produit de ce carré par le moment d'inertie variable avec celte vitesse.
