FONCTION DE CARNOT

Définition de la fonction de Carnot. — Considérons une machine thermique qui travaille entre deux températures déterminées ; elle a un rendement qui varie dans Je même sens que . l'intervalle des températures; le rendement diminue et s’annule en même temps que cet intervalle.

Soient t et t -(- dt les températures entre lesquelles fonc-

tionne la machine ; le rendement ~ est infiniment petit

Formons le quotienl

PRINCIPE DE CARNOT

C'est la dérivée du rendement par rapport à la température; c>?t encore le rendement rapporté à un intervallede températures de 1°. Ce rendement rapporte a \° d'inteçvalle a reçu le nom de fonction de Cornât , désignons- la par.C/. On a :

Propriétés. — 1° La fonction de Carnot est indépendante de la nature du corps soumis à la transformation.

En elVet,le rendement ~ entre deux températures données

est indépendant de la nature de la machine; c’est une conséquence du principe de Carnot.

2° La fonction de Carnot dépend de la température à laquelle on opère et du choix de l'échelle thermomëtrique.

En effet, soit l' l'indication d’une autre échelle thermométrique, on aura :

dZ dff dt

r dt ' dF dt n dt

~ Q ~ Q ~ U dt

Donc, si l’échelle de températures t' n’est pas identique à l’echelie t, Cf est différent de Cr. U y a alors un module, un coefficient de réduction pour passer de t à

Relation entre Tes températures absolues et la fonction de Carnot. — On dit quelquefois que la température absolue est l’inverse de la fonction de Carnot. Ce n’esl qu’une proposition approchée Pour vérifier, cherchons la re-

laiion entre la température absolue et la fonction de Carnot. On a :

Si on exprime la chaleur en thermies, d& — dQ} et ta fonction de Carnot devient

Or, on sait que Q est proportionnel à 9 ; c’est la définition même de 9, donc

dQ d9

d'où

dti

Donc, la fonction de Carnot n’est pas- ; pour qu’elle se ré-

duise à — , il faut et il suffit que ~ = 1 . Pour cela, il faut qu’on 9 dt

ait pris pour échelle thermométrique celle des températures absolues (à une constante près).

Mais, on ne peut prendre — pour définition de la tempérant*

ture absolue, car pour former — il faut déjà avoir les tempêta

ratures 9. Ainsi, la proposition énoncée n’est vraie que dans un cas particulier; et si on s’en servait pour définir lestempératures absolues, on ferait un cercle vicieux.

PRINCIPE DE CARNOT

La température absolue s'exprime d’ailleurs facilement à l’aide de la fonction de Carnot. De l’équation

on tire en intégra. »t

/ ‘ c, dt.

Expression analytique de la fonction de Carnot. —

La température absolue pouvant s’exprimer au moyen des indications d’un thermomètre quelconque, il en est de même de la fonction de Carnot qui est une fonction de la température absolue.

Dans l’équation (1) (page 80), supposons que x représenté l’indication t d’un thermomètre quelconque. On a :

U ~ 0 ~ R \dt âyl

Ce n’est autre chose que l’expression sous le signe f dans îa valeur de 0.

Si on se reporte à la détermination de la température absolue au moyen des gaz, on voit que Ton a (page 86) :

p - 1 Pov**P

Utilité de îa fonction de Carnot. — La fonction de

T H E K M O/VY N A M f Q t J E

Carnot se prête facilement à la vérification expérimentale du principe de Carnot.

Le rendement est indépendant de la nature de la machine, donc Cf est constant et indépendant de la nature du corps qui se transforme. Il suffît pour le démontrer de vérifier que Cf est constant pour un certain nombre de machines.

Pour cela, on calcule le rendement d’une machine à vapeur entre 99° à 100° au moyen de données relatives à la vapeur d’eau. Le même calcul fait pour la vapeur d’alcool a donné à Carnot sensiblement le même nombre. Carnot manquait de données numériques ; il n’a pu prendre que ces deux corps et l’air. Depuis, la vérification a été étendue par Clapeyron à la vapeur d’éther, et par Sir William Thomson à l’essence de térébenthine.

Dans le cas où l’on prend un thermomètre a vapeur saturée, on a :

r __ i dp

Lt ~~ 7 dt'

On peut le voir directement. Supposons que le liquide se vaporise à la température constante t -|- dt ; le point représentatif se déplace de A en B sur une horizontale. Puis on refroidit à t° de B en C. On comprime à la température t de C en D et on revient en A. Supposons que, le v passage de AB à sa parallèle CD se fasse suivant des adiabatiques, ou si Ton veut, par des cycles de forme quelconque mais infiniment

petits. Le rendement est — .

Or, du — aire P P'P" P' = Av. dp.

D’autre part, O — /Ac.

Alors

d’où

d<l A v.dp dp

~Q “ TmT T

do. dp dt dl

Ct ~ o ~ T

Pour la vérification, on pourra prendre comme valeur approchée de— les différences premières des tensions maxima

fournies par les tables. Il est donc indifférent de prendre un üq uide qui est peu volatil, ou qui l'est beaucoup.

On a trouvé pour définir la température absolue la formule (page 86).

dQ dp dv dl __ 1 dt dt

ou 0 — û0e

Celle expression est. tout a fait générale; on en tire

dO dp dû'

dt 1 dt dt T^EC-c

Appliquons aux gaz, parfaits, définis par la formule

PV = PoV 0 0 + *<)■

On aura

dp pBvnx

dt v

dv p0r0 a

dt p

De plus

Po»o*

G — c JMo*

donc

C — C PgV p* 1 .

pôv0a p v G — C ’

Po?V- ___ *

- + t ot

or (p. 93)

fCtdt = L (273 -f f)

9 = ; d’où 0 = ô0 (273 -f- /).

Si on prend 0O = 1, on a 0 — 273 -f- t.

Le zéro absolu n’existe pas. — En parlant des températures absolues, on ri pas parlé de zéro absolu. En effet, il n’y a pas de zéro absolu.

On a défini les températures absolues comme proportion -

PRINCIPE DE CARNOT

nelles aux quantités de chaleur mises en jeu dans une machine thermique. La suite des températures ahsolues est comme la suite des nombres proportionnels en chimie, où 1 on n a pas besoin de considérer un corps d'équivalent nul. Rien d’ailleurs nautome à penser que le zéro absolu existe réellement.

Soient t et t' deux températures entre lesquelles fonctionne une machine. On a les quantités coresspondantes

Par définition — • — ~ ; on peut concevoir que ce rapport

tende vers zéro. Le zéro absolu serait alors une température telle que le condenseur ne recevrait rien et qu’on utiliserait toute la chaleur prise à la chaudière. Dans ces conditions le condenseur ne se réchaufferait pas par le jeu de la machine.

Or, le zéro absolu ainsi défini ne peut être atteint. En effet, tous les movens connus de refroidissement : volatilisation, décompression, phénomène Peltier, refroidissement d’une soudure, sont réversibles. Un phénomène de refroidissement faisant partie d’un cycle réversible ne peut abaisser la température du corps jusqu’au zéro absolu ; il peut l’abaisser indéfiniment de plus en plus sans jamais arriver à la limite.

S’il en était autrement, en prenant ce corps comme condenseur, puis un corps quelconque comme chaudière, on aurait une machine thermique; si on la fait fonctionner à contre marche, de façon que le condenseur fournisse de la chaleur

pour produire du travail, on a — s. A. mesure que

ï'BEÿtMOnYîîAHJQTJSt.

corps se refroidît, la fraction précédente diminue: l’efficacité de chaque coup de piston va en diminuant, et la limite ne peut être atteinte qu’ asymptotiquement, au bout d’un nombre infini d’opérations.