ES

ne dépend que de la différence

~ . zr~: rr jlt. — —

des températures entre les corps chaud et froid. Or, il est facile d’imaginer un cas où, avec un travail fini, on peut opérer le transport de quantités indéfinies de chaleur. Considérons d’abord le cas limite, où ia différence de température est nulle.

Soient deux masses d’eau indéfinies A et B, ayant la même température. Dans le canal de communication CD peut se mouvoir un piston P qui reçoit son mouvement d’une machine thermique. Le volume offert à la vapeur de À venant à

croître par le mouvement du piston, une certaine quantité

d’eau se vaporisera jusqu’à ce que la force élastique maxitna relative à la température de l'expérience soit atteinte ; il y aura du cdté de A absorption de chaleur latente correspondante.

D’autre part, le volume offert à la vapeur de B diminuant de la meme quantité, un poids égal de vapeur se condensera en B et dégagera la même quantité de chaleur. De cette façon, il y aura eu transport d’une certaine quantité de chaleur de A en B. D’ailleurs, le travail nécessaire pour effectuer ce transport de chaleur est théoriquement nul, puisque les températures de A et de B étant les mêmes, les forces élastiques maxima de la vapeur en A et B sont égales, de sorte que le piston P est soumis à des forces égales sur ses deux

faces.

C'est là un cas limite. Si, au lieu d’ètre nulle, ta différence des températures est petite, le travail nécessaire au transport de la chaleur sera petit également.

D’ailleurs, un exemple fera bien comprendre Davantage de la disposition imaginée par Sir W. Thomson. Supposons que, l’air extérieur à un édifice étant à 0°, on veuille amener la température de l'atmosphère intérieure à 13°. Nous aurons à faire fonctionnera rebours une machine thermique entre 0 et 13°. Soient Q et Q' les quantités de chaleur mises en jeu. Le rapport de la quantité de chaleur absorbée pour la production du travail moteur à la quantité de chaleur fournie au

corps chaud est — — — - ; ce rapport mesure la dépense de

chaleur par calorie utilement fournie. Plus ce rapport est petit, plus la disposition est avantageuse; or on sait par la théorie des machines thermiques que ce rapporta pour valeur

RENDEMENT DES MACHINES THERMIQUES

rnaxima

Inversement, le rapport de la chaleur transportée à la chaleur

dépensée pour le transport est au moins — - = 22. Soit c la

quantité de chaleur fournie par la combustion du charbon.

Supposons que la machine motrice ne transforme en travail «

que la */*o partie de celle chaleur, la chaleur transportée étant au moins 22 fois plus grande, est égale à

cx2,2.

Ainsi, la chaleur transportée vaut plus de 2 fois (soit 2,2) la chaleur produite par la combustion du charbon.

Pour réaliser une machine à chauffer l’air, iJ suffit de prendre deux corps de pompe. Dans l’un, l’air subit un accroissement de volume à température constante, c'est-à-dire que, par un courant d’eau à la température ambiante, on lui restitue la chaleur qu’il absorbe par décompression ; puis cet air est amené dans le second corps de pompe entouré de matières mauvaises conductrices de la chaleur ; il y est recomprimé adiabatiquement jusqu'à la pression extérieure, s’y éehauffe ainsi au delà de sa température primitive, et il est lancé ainsi échauffé dans l’édifice dont on veut élever la température.

Lorsqu’un phénomène est tel qu’il peut produire du travail, de façon que le système de corps qui en est le siège puisse en outre parcourir un cycle fermé, et le parcourir dans les deux sens, le principe de Carnot lui est applicable ainsi que l’équation

Rappelons que nous. n’avons cessé de désigner par 0 la température du corps considéré, et non pas la température des sources de chaleur ou de froid avec lesquelles il est en relation. Cette remarque est nécessaire si l’on veut éviter toute confusion.

Certains auteurs, en effet, M. Clausius en particulier, ont mis en évidence dans leur analyse la température 0* des dites sources de chaleur et de froid ; dès lors ils ont été conduits à écrire

le signe = s'appliquant au cas de la réversibilité, le signe < au cas de la non réversibilité. Dans ce dernier cas, on a donc

Je dis que l’inégalité (2) est une conséquence de l’équation (1). En effet, si l’on considère des sources de chaleur, leurs températures ôc sont en générai supérieures aux températures B du corps qu’elles échauffent ; elles ne peuvent leur être égales que comme cas limite.

Si donc on remplace dans (1) les B qui sont les dénominateurs des termes positifs de la somme par les 9, qui sont plus grands, on diminue la valeur de cette somme, et de nulle qu’elle était on la rend négative ; c’est-à-dire que l’on obtient l’inégalité (2).

De même, si l’on considère les sources de froid, leurs températures Qe sont en général inférieures, et au plus égales aux températures 0 du corps qu’elles refroidissent. En remplaçant donc les 0 parles Be on augmente la valeur absolue des termes négatifs de la somme, et on la rend encore négative. De ce chef encore, on obtient l’inégalité (2).

En résumé, l’inégalité (2) est une conséquence de l'égalité (1) ; elle ne nous en apprend donc pas plus et ne nous exprime pas, comme on paraît l’avoir pensé quelquefois, une vérité qui serait applicable seulement aux cycles non réversibles.

Pour rendre ce qui précède plus clair, appliquons à un cas particulier. Soit un gaz qui parcourt un cycle de Carnot entre

les températures 0 et Of ; on a

Si la chaleur mise en jeu le long des isothermes d et 0' est empruntée, par voie de rayonnement, à des sources dont les températures sontO,. > ô et 0'e < 6', on a par cela môme

On voit qu’iei encore l’inégalité (2)' est une conséquence de l’équation (1)'. On voit en outre clairement par cet exemple qu’il y a deux manières de considérer les choses. Si 6e > 0 et 0/ < 0', l’appareil complexe formé par les sources et le gaz fonctionne suivant un cycle qui n’est pas réversible ; mais le gaz, considéré à part, n’en parcourt pas moins un cycle de Carnot, lequel est réversible.

Cette remarque est générale : on peut se mettre à deux points de vue distincts et nullement contradictoires. Si l’on se donne un système comprenant des sources de chaleur et de froid, et que l’on veuille en étudier les propriétés, pour calculer par exemple son rendement en travail, ce sont les températures 0C qu’il faut introduire, et l’on est conduit à la relation

Si, au contraire, on désire étudier les lois d’un phénomène, les propriétés spécifiques d’un corps, il y a lieu de considérer la température 6 que possède h chaque instant ce corps

et non les températures Qe de certaines sources extérieures ; et l’on a dans ce cas h appliquer, s’il y a lieu, l’équation

C’est-à-dire que, si le principe de Carnot est applicable, on

0; s’il ne l’est pas,

l’exprime à l'aide de l’équation ^ on ne pourra écrire ni cette équation, ni l’inégalité

Phénomènes non réversibles. — Un certain nombre de phénomènes ne sont pas réversibles. Tels sont la production de chaleur par le frottement, les communications de chaleur par contact ou par rayonnement. Le principe de Carnot,

l’équation

0 ne leur sont pas applicables.

11 est néanmoins intéressant de former la somme

/ dQ .

I T 1 de

chercher son signe, et de se demander si elle est dans tous les cas inférieure ou égale à zéro.

Kn désignant toujours par ~j~ la quantité de chaleur absorbée par un corps, on voit réellement que pour les trois phénomènes considérés plus haut on a

Faut-il en conclure, comme on parait l’avoir fait quelquefois, que cette inégalité alieu d’une façon tout à fait générale,

c’est-à-dire toutes les fois que l’on n’a pas

Au¬

rait-on ainsi l’expression d’un principe plus général que celui de Carnot ?

11 nous semble qu’il n’en est rien, car on peut trouver des

d’un gaz à température constante, avec production de travail, la diffusion d'un sel dans un dissolvant volatil à température constante et avec production de travail. On ne peut donc affirmer que l’on a toujours, et sans restriction,

ÉNERGIE

Principe de la conservation de l’énergie. — Nous avons vu à propos du principe de l'équivalence que, le long d’un cycle fermé, on a :

de plus, si le cycle n’est pas fermé, la différence C — Q n’est plus nulle, mais elle ne dépend que de l’état initial et de l’étal final. C’est une fonction des variables qui définissent l’état du corps. Si l’on désigne par q la somme des quantités de chaleur dégagées par le corps qui subit la transformation et absorbées par les corps ambiants, le long du cycle considéré, on a q zrz — Q.

Alors la fonction %, -j- q, de même que & — Q, ne dépend que de l’état initial et de l’état final. Cette proposition n’a été établie précédemment que dans le cas d’un cycle fermé. On l’étend par induction ii tout corps soumis à une série de transformations quelconques en raisonnant comme si cette transformation faisait partie d’un cycle fermé. On admettra que celte somme & -f- q ne dépend dans tous les cas que de l’état initial et de l’état final même lorsque le cycle est ouvert ; le principe de l’équivalence ainsi étendu s’appelle le principe de la conservation de V énergie. On a ainsi

AU — ^ -f- q.

AU n’est autre chose qu'une fonction des variables qui définissent l’état du corps/ cette fonction étant délmie par l’équation précédente.

Cette équation peut d’ailleurs être considérée comme représentant une équivalence entre un phénomène particulier au corps qui se transforme, AU, et. un phénomène extérieur % 4~ q. AU équivaut h la somme des effets mécaniques ou calorifiques que le corps produit extérieurement par ses transformations ; on dit que AU est la variation de l’énergie le long du cycle considéré ; et l’équation précédente exprime qu’il y a équivalence entre cette variation de l’énergie et la somme du travail et de la chaleur fournis à l'extérieur.

En d’autres termes, ce qu’un corps perd en énergie est acquis par les corps ambiants; il y a donc conservation de l’énergie.

Le mot d’énergie a été emprunté à la mécanique, où l’énergie est le travail qu’un système est capable de fournir. En mécanique on a simplement AU — car on n’a pas à s’occuper des phénomènes thermiques. Ici, au travail, viendra s’ajouter le phénomène thermique.

Vérifications expérimentales de la conservation de Pénergie. — C’est l’expérience qui permet de vérifier que £ q ne dépend que de l’état initial et de l’état linal. Il en est ainsi, dans tous les cas où la vérification expérimentale est possible ; dans les autres cas, on admet cette loi comme un postulatum. Ainsi considéré, le principe de la conservation de l'énergie s’applique à fout phénomène où il y a production de travail et de chaleur. Prenons divers exemples.

Dans une batterie électrique, la décharge correspond à une perte d’énergie du système, et cette perte d’énergie peut se traduire extérieurement par la production d’un mouvement

ÉNERGIE

ou par un dégagement de chaleur. Jl existe donc une fonction U des variables par lesquelles l’état électrostatique du système est défini, dont la variation sera

AU — t + g.

Dans un système magnétique, il y a aussi variation de l’énergie. Un aimant, en se déplaçant, exerce en effet une action sur les masses métalliques du champ magnétique ; des courants induits y prennent naissance et il y a production de travail et dégagement de chaleur. D’énergie subit donc une variation que Ton peut calculer si l’on connaît le travail produit et la chaleur dégagée.

Application à la thermochimie. — De même, tout système où peut se produire une action chimique donne lieu à une dépense d’énergie. On mesure cette dépense en formant la somme des quantités de chaleur dégagées ou absorbées. C'est sous cette forme qu’on applique en thermochimie le principe de la conservation de l’énergie. Ici, on se place en général dans des conditions telles que le travail produit extérieurement n’intervienne pas ; on a, en effet.

la pression restant constante. Pour les corps solides et li¬

quides A?j> est sensiblement nul ; pour les gaz, on se sert d’enveloppe à volume constant et l’on a encore

Av — o.

Dans tous les cas — 0 ; la variation d’énergie se réduit à

AU = q .

La quantité de chaleur dégagée dans un système chimique ne dépend donc que de l’état initial et de l’état final, puisqu’il y a conservation de l’énergie; et elle est la même, quelle que soit la série des transformations qui permettent de passer de l’état initial à l’état final. 11 faut toutefois se souvenir que l’on a supposé a, — 0 et par conséquent que la transformation ne doit être accompagnée d’aucun travail extérieur. De là une méthode appliquée en thermochimie. On part d’un même état initial, pour aboutir à un même état final de deux manières différentes ; dans l’une, les quantités de chaleur sont toutes connues ; dans la seconde, une seule est inconnue. On écrit que la quantité de chaleur mise en jeu dans les deux transformations est la même. On a ainsi une équation d’où l’on tire l’inconnue. Cherchons par exemple la chaleur de formation de V oxyde de carbone. On fait brûler C — 6 grammes de charbon,, on a un dégagement de chaleur q par sa transformation en 22 grammes d’acide carbonique. Le même poids de charbon transformé en oxyde fournit un dégagement de chaleur x , puis l’oxyde de carbone brûlé redonne de l’acide carbonique avec un dégagement de chaleur q\ On a ainsi

q — X -f- q' • d’où x — q — q.

Donc la différence q — q' représente la chaleur de formation de l’oxyde de carbonne.

C’est aussi de cette manière que l’on tient compte de l’état physique où se trouvent les corps que l'on fait réagir. Lorsque, dans une réaction chimique, les corps sur lesquels on opère ne sont pas sous le même état, il faut, pour calculer la chaleur dégagée dans la réaction, ramener les corps réagissant au même état. Prenons par exemple de l’acide sulfurique

ÉNERGIE

étendu et de la potasse, on peut prendre de la potasse monohydratée en morceaux et la faire agir sur l’acide sulfurique étendu ; on observe pour un certain degré de dilution un dégagement de chaleur 9, par suite de la formation du sulfate de potasse solide dans un poids convenable d’eau ; commençons au contraire par dissoudre la potasse dans l’eau, d’où un dégagement de chaleur .x, puis ajoutons à la dissolution de l’acide sulfurique, ce qui donne un dégagement q'; si les dilutions finales de sulfate de potasse sont identiques, on a

q — x -f- q d’où x,— q — q'.

Réactions chimiques accompagnées d’un travail extérieur. — Il y a des cas où le travail extérieur qui accompagne la réaction chimique n’est pas nul, où il y a intérêt et même

nécessité à le considérer. Etudions en effet ce qui arrive dans l’élément Daniel!. Le zinc se substitue au cuivre du sulfate de cuivre. Or, on peut faire cette substitution de deux manières : d’abord, mettre tout simplement du zinc dans une solution de sulfate de cuivre, et alors le travail produit extérieurement est nul ; il ne se dégage qu’une quantité de chaleur qK ; ou bien, monter un élément Daniell, et profiler du courant dû à la substitution du zinc au cuivre pour faire marcher une machine magnétoélectrique ; ici, il y a un travail produit extérieurement & et une quantité de chaleur q2 dégagée par la réaction. D’après le principe de la conservation de l’énergie, il y a équivalence entre cesdeux manières défaire, pourvu qu’on ait le même état initial et le même état final. Donc:

qK — & + q.

Ce résultat a été vérifié avec soin expérimentalement par M. Joule et après lui par Fabre elSilbermann.

Énergie capillaire. — Enfin, parmi les phénomènes qui peuvent amener une variation de l’énergie se trouvent les phénomènes capillaires. Ce sont les déformations éprouvées par les surfaces liquides dans leur contact avec des solides ou avec d’autres surfaces liquides. A la suite de ces déformations il y a travail produit, chaleur dégagée, et par conséquent variation de l’énergie ; il faudra donc, dans l’expression générale de l’énergie, ajouter un terme provenant des actions capillaires, ce sera l 'énergie capillaire.

cas où l'on connaît l’expression AU

Il est rare que l’on puisse exprimer analytiquement et à priori la valeur de AU. Ce cas se présente pourtant dans l’étude

de l’électricité, du magnétisme et de la capillarité. Considérons

d’abord un système de points électrisés, chargés des quantités d’électricilém,ra',etc., et dontles distances deuxàdeux sont r , r', etc. On appelle énergie électrique ou électrostatique du système la quantité U définie par la relation:

Alors

équation qui s’applique encore à un corps solide électrisé et continu, d’étendue finie. Pour un système de points magnétiques, on a encore :

ÉNERGIE

Considérons un courant électrique établi dans un fil de cuivre et arrivé à son état permanent ; soit i son intensité. L’existence de ce courant donne lieu à la production d’un

champ magnétique, et il en résulte une variété particulière de

l’énergie. L’expression de cette énergie est — Pi2 si Ton n’u

tilise que le travail de l’extra-courant. L’effet courant est l 'énergie électromagnétique de l’extra-courant.

ip*'2

i est l’intensité du courant à l’instant considéré, P un coefficient particulier à la forme du circuit.

On connaît aussi, pour les phénomènes de capillarité, l’expression de U. C’est :

A étant un coefficient propre au liquide, S, la surface libre du liauide. Alors :

AU = A (AS)' ~ & -j- r/,

puisque la déformation de cette surface fait naître des phénomènes mécaniques et thermiques. Mais en général, dans l’élude de la capillarité, on suppose la température invariable et alors q — o. On n’a alors que les phénomènes mécaniques et hydrostatiques à considérer.

Remarques sur Pénergie électromagnétique. — Il nous reste à faire quelques remarques sur l’énergie électromagnétique et l’extra-courant, ainsi que sur l’énergie électrostatique.

Dans une machine magnétoélectrique, le travail élérnen-

taire dZ est égal au produit de la force électromolrice e parla quantité d’électricité qui passe: dZ = edm. Il n’est pas nécessaire de recourir au principe de l’équivalence pour obtenir celte formule ; elle dérive directement de la définition même de i et de e en valeur absolue électromagnétique. Prenons un moteur électrique qui fournisse un travail par le passage d’un courant; dans ce moteur, le circuit du courant est mobile dans un champ magnétique uniforme d’intensité H; si ce circuit est traversé par un courant d’intensité i, une longueur de lom de ce circuit est entraînée par une force «H, et le travail de cette force en une seconde sera «Ha. en appelant v la vitesse avec laquelle le circuit se meut. D’ailleurs, la force électromotrice étant définie dans le système électromagnétique par une force électromotrice d’induction, on a Ha — e. Le travail, en une seconde sera donc Z = «Ha ~ei ; pendant le temps dt, ce sera

dZ ~ eidt

et comme idt — dm,

dZ = edm.

Mais si la machine est employée à produire des courants, cette relation n’est plus vraie ; ei est alors le travail électrique pendant l’unité de temps, et ici il faut faire intervenir le principe de l’équivalence pour savoir quelle est sa véritable signification ; ei représente les sommes des quantités de chaleur et de travail dégagés pendant une seconde :

ci ~ Z -J- q.

On peut déduire de là l’expression de l’énergie due à l’extra-courant ; dans un courant d’intensité i , la naissance de

ÉNERGIE

l’extra-courant donne lieu à un accroissement e de la force

électromotrice, dont la valeur est: e = P —,

d’où

eidt = Pi dt ; dt

la variation de l’énergie pendant un certain temps sera

eidt — A ~ Pi2 — & + q.

Remarques sur l'énergie électrostatique. — L’énergie

mm .

— . Dans les rai¬

électrostatique est la fonction U

sonnements qui se rapportent à cette fonction on rencontre certains points délicats sur lesquels il est bon d’insister.

Considérons d’abord le cas d’un système de corps isolants , dont les divers points M, M', M"... contiennent des quantités d’électricité m, m'... Nous supposerons ces quantités m, m... constantes, et les distances des points M, M\. seules variables.

m' Pour deux points M et M' seu-

(*J} v' lement, le travail résultant

d’un déplacement dr sera

mm 7 — dr’

et, comme ici m et m ' sont des quantités constantes

t ? mm*

dtl — d - — — au,

ce qu’on peut écrire d& — ^ynd — m a 1,

et en appelant V et V' les potentiels en M et M'

d% = | ^md\ + nidV

thbrmodynamiquk.

Pour une série de points M, M', M*.... on aurait de même

rf* = — rfü =r | ^ mdV'

Prenons maintenant un système de corps conducteurs qu’on peut déplacer, déformer et mettre en communication les uns avec les autres. Supposons qu’il n’y ait ni force électromotrice de contact ou d’induction mises en jeu. Gela revient à dire que les conducteurs et les fils qui servent à les relier entre eux sont de même métal. Soient mK et m2 les charges des points M, et Ma du système. La force qui s’exerce entre ces

deu* points sera toujours — rn désignant la distance

ri 2

Que devient ici ofa?

Quand ri2 varie de dri2, les charges mK et m2 deviennent mK -|- dmK et m2 -f* dm2 ; mais cela ne change rien à la valeur de d% qui est toujours = — ~*ï"'*dri2, en négligeant

les infiniment petits d’ordre supérieur au premier. Par contre, si m i et m2 varient, on n’a plus rffc == — d[ J.

Car on a

d’où — r/U — mKm2d — - 1 - — (midm3 -J- m2dmK ),

' ri2

ce qu’on peut écrire

tfU = 1 \mK d(jl ) + 1 +

* L \r<2/"lt=Cle \ ri2s ,n\ = ClB J

+ ^dm2 + ^dmr

rvi

ÉNERGIE 243

Comme — - et — sont les potentiels V< et V2 en M< et M-,

rl2 V\2

on aura :

— = | (midr\A -}- m^drS 2) \idmi \2dm2.

Si au lieu de deux points on en a trois M2 et Mâ, il vient :

o?U = mAm.2d - f- m.2m^d - \-m.àmAd - -|~

I m{dm2 -f~ m.2dm{ ^ m2o?m3 -|- m2dm2 | m^dm{ -{- mKdm s

ou bien

c?U = ~m.( rn»d — — (- m.,d ^ 4-

2 V rn * »WT