EXPRESSION ANALYTIQUE DU PRINCIPE DE L’ÉQUIVALENCE
L’état d’un corps ou d’un système de corps est déterminé lorsque l’on connaît un certain nombre de paramètres variables : volume, pression, etc... Pour fixer les idées, considérons un corps dont l’état est déterminé lorsque l’on connaît son volume, et la pression à laquelle il est soumis.
Supposons que l’état initial À soit caractérisé par les valeurs p0, ?;0 des variables p et a, et que l’état final P> soit caractérisé par pvVji .La valeur de & — EQ, quand le corps passe de l'état A à l’état B, ne dépend que de p0,v0. Si le corps part d'un même état initial A pour aboutir à des états B différents, la valeur de Z — EQ ne dépend que des coordonnées du point représentatif de B. Dans tous les cas, la valeur de % — EQ est la même, quelle que soit la courbe parcourue par le corps entre À et B. Il en résulte que l’expression Z — EQ est une véritable fonction de pi et vj} puisqu’elle est déterminée quand on se donne p < et î;4. De même Z — EQ est une fonction de p0 et v0.
Utilité de la notation différentielle. — Arrivé s à ce résultat. nous introduirons dans notre analyse la notation différentielle. L'utilité de cette introduction sera comprise par la suite ; remarquons seulement que tous les coefficients, toutes •es constantes de la physique ne sont, que des coefficients dif-
PRINCIPE DE L'ÉQUIVALENCE
férentiels ou des dérivées partielles. Par exemple, la chaleur spécifique d'un corps est un coefficient différentiel. — Soit un corps dont on fait varier la température t de dt. Supposons qu’il se dilate a pression constante, son volume s’accroît de do ; la chaleur à lui fournir est G dt, donc
otQ = C dt d’où C = 3=%
dt,
G est la chaleur spécifique à pression constante. De meme si la température du corps reste constante, mais qu’on fasse varier son volume ou sa pression, la quantité de chaleur mise enjeu est proportionnelle à la variation infiniment petite de volume do, donc
— Ido , ou / — ;
le si la chaleur latente de dilatation.
Ainsi on admet qu’il y a proportionnalité entre les quantités de chaleur absorbées et les variations de température et de volume. Lorsque l’intervalle est infiniment petit, cette approximation est légitime, car les densités et autres propriétés des corps restent constantes dans tout l’intervalle, à des infiniment petits près d’ordres supérieurs. L’avantage essentiel des transformations infiniment petites est de pouvoir considérer les quantités de chaleur misé en jeu comme proportionnelles aux variations des variables indépendantes.
Si, pour un corps soumis à une transformation, il y a à la foiséchauffement et décompression, il faut en tenir compte ; car en réalité la décompression ne se fait plus sur un corps à température Lnmis sur un corps dont la température varie de
dt ; donc, pour la chaleur absorbée pendant ia dilatation à
température constante, la variation de température dt devrait intervenir ; mais les termes de correction que l’on introduirait ainsi étant de deuxième ordre, on peut les négliger et écrire
dQ zzz cdt -j- Idc
les coefficients c et l étant des coefficients différentiels définis comme on l’a fait précédemment
dQ j </Q
dt ~ du
De même, en prenant comme variables indépendantes la température et la pression, on a
avec
d{) — Cdt -J- h dp
La pression elle-même peut être considérée comme un coefficient dilïérentiel. Soit un corps qui travaille en surmontant une pression extérieure : pour une augmentation de volume égale à 1,1e travail dépensé estp, pour une augmentation du le travail sera dû = pdu .
Si le travail dépend non seulement de la dilatation, mais d’une autre variable z, on a :
dû ~ pdu -j- kdz
d'où p
dû
du'
d& — EdQ est une différentielle exacte. — La nécessité de traduire nos principes par des équations différentielles étant établie, nous chercherons l’expression analytique de ce fait que û — EQ est une fonction do p 0 et de v{) Or, pour cha-
PRINCIPE DE 1/ ÉQUIVALENCE
que transformation infiniment petite entre A et. B, on a une variation infiniment petite de Z — EQ qui est dz — Ec/Q. La somme de toutes ces variations infiniment petites entre
7>0’vo et P\'v\ est
1 (dz — EdQ) = (ü — EO) PiV'
(Z — EQ) ^ 1 est une véritable fonction des. limites p0,v0 et Povo
p4 ,i\ ; donc l’intégrale du premier membre est aussi une fonction de ces limites p0,v0 et p,,u, ; ce qui exige que la quantité sous le signe / soit la différentielle de cette fonction. Si on prend pour variables indépendantes t et v, la quantité sous le signe / sera de la forme
A d. t -f- Bdv,
qui devra être une différentielle exacte.
En général, si l’état du corpssournis à la transformation est déterminé parles deux variables indépendantes x et y, la quantité sous le signe / sera
P dx -f- Q dy.
On aura (Pote + Q dy) = f[x, ,y,)
v a i\ifO
et P dx -|~ Q dy sera une différentielle exacte. La condition nécessaire pour que
Pdx -f Q dy — df(x, y)
En effet, on a
x,y)^fxdæ + fydy
d’où
if
dx
dy
Différentions une seconde fois :
dy dx.dy
et
dQ d2/
dx dy.dx
donc
dP dQ dy dx '
Cette condition pourrait n’étre pas suffisante, mais comme elle est nécessaire, on aura le droit de l’écrire (1).
Travail intérieur. — D’après le principe de l’équivalence, la quantité E dQ — d<i est une différentielle exacte. Mais Jes
(1) Dans l’analysa qui précède, nous avons dit que, lorsqu’une intégrale ne dépend que des limites des variables qu’elle contient, c'est une véritable fonction. Il est facile de vérifier qu’une fonction de deux variables
P dx + Qdy
n’est pas une différentielle exacte quand l’integrale I (Vdx-\~ Qdy) dô-
pend des valeurs intermédiaires de x et de y.
Soit par exemple J ydx. — La quantité ydx est de la forme P dx 4 Qdy.
r^iVi
L’intégrale / ydx représente l’aire AA B'B, et dépend essentiellement d XqU» 1
de la forme de la courbe entre A et B ; on vérifie facilement que la condition d’inlégrabilité ~ n’est pas satisfaite.
dy dx
rn\V\
Il en est de même pour l’intégrale / \xdy) qui représente l’aire
AA"fî"B. La différence de ces deux intégrales
«oVo
{ydx — ædy ) repré-
PRINCIPE DE L’EQUIVALENCE
deux parties de cette somme ne sont pas pour cela des différentielles exactes; ne dépend pas uniquement de l’état initial et de Vetat final, mais aussi des états intermédiaires. De même rfQ n'est pas une différentielle exacte. Posons
dU = EdQ — d%.
La différentielle d IJ est ordinairement appelée traçait intérieur
On a en effet EQ — Ü = U
d’où EQ z + U.
Un corps absorbant une quantité de travail correspondant à EQ. on recueille une quantité de travail & < EQ ; ii faut donc ajouter à ce travail recueilli un terme complémentaire U pour avoir Eéquivalent de la chaleur dépensée. Considérons U comme un travail c’est un travail qu’on peut supposer dé¬
sente la différence des aires AA'B'B et AA"B"B ; sa valeur dépend de la courbe
intermédiaire. La condition
La somme / (ydx -f xdy) représente Paire totaleA AA"B'BB' indé-
dP. dQ dy dx
n’est pas vérifiée.
pendante de la forme de la courbe AB; la condition d’intégrabilité est d’ailleurs satisfaite.
Ainsi, écrire la condition d’iutégrabiiité, c’est simplement écrire la condition nécessaire pour que l'intégrale ne soit fonction que de ses limites.
Pour plus de généralité, se reporter au cours d’analyse de M. Picard (1886- 1887), publié par l’Association amicale des élèves et anciens élèves de la Faculté des sciences de Paris, page 129.
pensé dans l’intérieur du eorps pour produire son changement d'état. — On pourrait aussi bien regarder U comme une chaleur latente.
Expression générale du principe de l’équivalence.
— En général, dl] sera fonction de deux variables indépendantes rc et y, de sorte que l’on pourra poser
d\] = P dx -j- Qdy
et le principe de l’équivalence sera exprimé par la condition
dP __ dQ dy dx
Mais il peut arriver que le nombre des variables dont dépend U soit beaucoup plus grand. Soit, par exemple, un fil métallique ; son état dépend de sa température, de sa flexion, de sa torsion, en général de variables de nature mécanique ou même électrique. La quantité c/U dépendant des variables indépendantes x, y, z, on peut poser
dl] — P dx -f Qdy + R dz -f ....
Cette expression est encore une différentielle exacte. En effet, pour un cycle fermé, EQ — £ est une fonction algébrique, c’est-à-dire ne dépend que de l’état initial et de l’état final ; donc Ec/Q — d% est différentielle exacte. Le principe de l’équivalence s’exprime alors par un système d’équations
dP dP c/R cftj __ c/R
dy ~ dx ’ dz ~ dx' dz ~ dy'"'
Applications du principe de Péquivalence. — I. Soit
PRINCIPE DE L’ÉQUIVALENCE
un kilogramme d'un corps quelconque dont on fait varier le volume et la température en lui faisant parcourir un cycle fermé. Formons l’expression EdQ — dit. On a
dQ — cdt -j— Idv
c étant la chaleur spécifique à. volume constant, l la chaleur latente de dilatation du corps (quantité de chaleur absorbée par le corps pour que son volume varie d’une quantité égale à l’unité, à température constante) ;
de plus d% — pdv ,
donc d\ J ~ E [cdt Idv) — pdv .
c?U = E cdt -)- (E l — p)dv.
La condition d’intégrabilité est
d{ Ec) c?(El — p)
dv dt
Cette équation est la traduction du principe de l’équivalence, il. — Soit un fil susceptible de s’allonger sous l’influence d’un poids; soient t sa température, x sa longueur ; sa tension est produite par un certain poids 7r ; supposons que le poids du fil soit égal à l’unité. La chaleur absorbée par le fil, lorsque sa température varie de dt et sa longueur de dœ, est
— cdt -f- X dx
c étant la chaleur spécifique du fil à longueur constante, X la chaleur absorbée par le fil lorsqu'il s’allonge de 3 ‘unité de longueur à température constante, ce qu’on pourrait appeler ]a chaleur latente d’allongement à température constante. Le travail est fourni par un poids n descendant d ‘une hauteur dx.
Donc dî&. — ixdx
en valeur absolue. Mais, pour que, dx représentant l’allongement, dQ soit le travail fourni par le fil, il faut prendre
du — — 7t dx ;
on en déduit
d\) = E {cdt \dx) 4- 7T dx —— E cdt — | — f E à “|— 7t) dx d’où la condition d’intégrabilité
„ de T, d 'K . d re E — — L - -- 4- -7- .
dx dt dt
VALEUR DE L’ÉQUIVALENT MÉCANIQUE DE LA CHALEUR DANS LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES D’UNITÉS
Jusqu’ici nous avons pris pour unités de travail et de quantité de chaleur le kilogramrnèlre et la calorie, mais on peut prendre d'autres unités. Notre analyse est indépendante de leur choix, mais les valeurs numériques de & et 0 et par
PRINCIPE DE L’ÉQUIVALENCE
suite celle de E varieront. Etudions avec un peu plus de détails les divers systèmes d’unités.
Système du kilogrammètre. — La calorie est la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 0°à 1° centigrade la température de 1 kilogramme d’eau. La calorie dépend donc de la définition du degré centigrade, et on sait que la valeur de ce degré varie avec le choix du corps thermométrique ; elle n’est pas la même avec un thermomètre à mercure ou avec un thermomètre à air ; dans le cas où on adopte i’air comme corps thermométrique, il faut définir si on emploie l’air à pression constante ou à volume constant. Depuis Régnault le degré centigrade est donné par le thermomètre à air, à volume constant. L’intervalle de 100° est déterminé par la température de la glace fondante et de l’eau bouillante sous une pression de 76 centimètres de mercure à la latitude de 45° et au niveau de la mer ; la valeur de la pression correspondant à une même hauteur de mercure dépend, en effet, de l'intensité de la pesanteur ; l’air que contient le thermomètre doit avoir à Ü“la pression initiale de 76 centimètres de mercure dans les mêmes conditions de latitude et d’altitude, car la dilatation de l’air n’est pas ri goure usement indépendante de la pression initiale.
Le kilogrammètre est le travail nécessaire pour élever la masse de 1 kilogramme de i mètre de haut dans un lieu déterminé. La force à vaincre varie en effet avec l’intensité de la pesanteur. Comme on le voit, ces unités dépendent du lieu de l’observation; on a adopté un nouveau système d’unités qui ne présentent pas cet inconvénient, celui des unités absolues.
Système d’unités absolues C.G.S. — Dans ce système, l’unité de force est la dyne; c’est la force capable d’imprimer
une accélération de 1 centimètre par seconde a une masse de 1 gramme. Cette définition introduit les unités de longueur, de masse el de temps : ce sont les grandeurs dites fondamentales . L unité de temps est la seconde sexagésimale de temps moyen; L’unité de longueur est le centimètre (c'est la 100e partie du mètre étalon déposé aux archives de Paris) ; l’unité de masse est la masse du gramme; c’est sensiblement la masse d’un centimètre cube d’eau distillée à 4°. Rigoureusement c’est la millième partie de la masse du morceau de platine déposé aux archives de Paris sous le nom de kilogramme, lequel, à très peu près a même masse qu’un décimètre cube d’eau distillée prise à son maximum de densité. Le système des unités absolues, qui a pour unités fondamentales le centimètre, le gramme et la seconde, est appelé par abréviation système C.G.S. L’unité de travail du système C.G.S. est ïerg. C’est le travail produit par une dyne lorsque le déplacement de son point d’application est de 1 centimètre dans la direction delà force,
il est facile d’ailleurs de passer du système du kilogrammètre au système C. G. S. Le poids du gramme à Paris est la
force qui donne à la masse du gramme une accélération de 980cm8. Cette force estdoncégale à 980 dynes, 8. Donc:
poids de lgr — 980, 8 dynes.
d’où
1 dyne
poids de 1 gramme 980,8
ou, en général, dans un milieu où l’accélération de la pesanteur est g ,
1 dyne
poids de 1 gramme g (en centimètres)
PRINCIPE DE L'ÉQUIVALENCE
De même 1 kilogram mètre est le travail nécessaire pour soulever 1 kilogramme de i mètre. Or
1 kilogr. — 1000*. 980800 dynes
1 mètre -- 100 centimètres.
Donc le kilogrammètre correspond au travail nécessaire pour déplacer 980800 dynes de 100 centimètres. Sa valeur en ergs est donc
Unité absolue de chaleur. Thermie. — L’unité de
chaleur adoptée est la grande calorie ; c’est la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 0° à 1° centigrade la température de 1 kilogramme d’eau. Celte unité est commode pour les expériences calorimétriques, mais on peut la remplacer par une autre unité absolue don! l’usage est plus avantageux en Thermodynamique. C'est la quantité de chaleur qui est l’équivalent de l’unité de travail. Cette unité peut être désignée sous le nom de thermie. Si l’unité de travail est le kilogrammètre, la thermie est l’équivalent du kilogrammètre ; si l’unité de travail est l’erg, la thermie est T équivalent de l’erg.
L'introduction de cette unité présente de grands avantages. Elle dispense de passer par la définition du degré centigrade; sa définition est indépendante de toute convention arbitraire.
Déplus, en adoptant comme unité la thermie, les équations d équivalence deviennent plus simples. Par exemple, au lieu de EQ — on a Q = $; la formule trouvée dans le cas de la machine à vapeur, & — E (Q — Q), devient & — Q — Q',
On passe facilement du système de la calorie au système de
TlPîRMOOVNAMIQUK .
f HF.RMOD YNAMIQU E
la thermie ; il suffit de diviser toutes les quantités de chaleur par E. Pour passer du système de la thermie au système de la calorie, il faut an contraire multiplier toutes les quantités de chaleur par E.
Valeur de Péquivalent mécanique dans le système
C.G.S.— L’équi valent mécanique est le quotient d’un travail Z par une quantité' de chaleur Q, On a obtenu
795 __ & (kilogrammètres)
~ Q (grandes calories)'
Or z kilogrammètres — C X 9.808 X 107 ergs.
0 calories - Qxl .000 — Q X 103
Donc, la valeur de l’équivalent mécanique en G G. S. est
ou E = 4.168 X iO7
PRINCIPE DE CARNOT
Le principe de l'équivalence nous a donné une relation entre les quantités de chaleur mises en jeu et le travail produit : le principe de Carnot va nous donner une relation entre les températures et le travail.
Carnot y a été amené en 1854. en étudiant les conditions
d’économie des machines thermiques (4). Peut-on avec avantage remplacer l’eau par l'air, l'acide sulfureux, l’air à poudre de Jycopode qu’on enflamme? Combien peut-on avoir de travail par kilogramme de charbon, ou mieux, que peut-on récolter de travail par calorie? Ce sera la puissance motrice de la machine.
Supposons la machine parfaite, supprimons les frottements, perfectionnons la détente; deux questions se posent alors relativement à la puissance motrice :
1° Quelles sont les conditions de son maximum?
2° Quelle est la valeur du maximum?
Carnot a commencé par résoudre ces deux questions.
Condition nécessaire pour qu'une machine ther-* mique fonctionne. — Ce qui a frappé Carnot, c’est que dans toute machine thermique, c’est-à-dire dans toute ma*
(1) Sadi Carnot, lié flexions sur la puissance motrice du feu el sur Us machines propres à développer celle puissance . i'aris, 1824.
chine transformant de ia chaleur en travail, il fallait une différence de température, ou plutôt, une chute de chaleur. Ainsi, dans toute machine à vapeur, la chaudière et le condenseur sont à des températures différentes.
Cette remarque de Carnot est applicable à toute espèce de machine thermique. Si l'on place dans le circuit d’une pile thermoélectrique une machine Gramme, ou mieux, un moteur électrique, ce dernier n'entrera en mouvement qu’autant que les deux soudures de la pile seront portées à des températures différentes, ü n’y aura de travail possible qu’à partir du moment ou la remarque de Carnot sera satisfaite (1).
On peut énoncer le principe de Carnot en disant :
Dans toute machine thermique , il y a chute de température ; il ri y a pas transformation de chaleur en travail sans l'emploi de deux sources à des températures différentes.
On constate cette chute de température dans toutes les machines thermiques connues. On admettra comme principe qu’elle existera de même dans toutes les machines qu’on pourra inventer.
L’énoncé du principe de Carnot qui vient d’ètre donné est en quelque sorte qualitatif. Pour le mettre en équation, il faut considérer ce que l’on appelle le rendement , définir avec Carnot la condition qui rend ce rendement maximum , et les cycles dits réversibles qui permettent de le réaliser.
(1) La loi dos tensions de Volta n'est, à ce point de vue, qn’un cas particulier du principe de Carnot Considérons en effet un circuit fermé composé de fils de métaux ditîéreuis soudés bout à bout; d’après Carnot, il n’y aura aucun travail possible tant qu’il n’y aura pas de différence de température dans le système, ce qui revient à dire ce que pensait Volta : la somme des forces électromotrices de contact est nulle dans le circuit si la température est la même partout.
PRINCIPE DE CARNOT
