SECONDE PARTIE

Cauchy a démontré que lorsqu'une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes d'une même variable était convergente pour une certaine valeur de sa variable :

i ° Elle était convergente pour toute valeur de cette variable ayant un module moindre;

2" Elle était donc convergente pour toutes les valeurs d'à? comprises à l'intérieur d'un cercle d'un certain rayon décrit de l'origine comme centre ; ce cercle a été appelé par Cauchy cercle de convergence;

3° Elle représentait à l'intérieur du cercle de convergence une fonction synectique de la variable ordonnatrice ;

4° Enfin, on pouvait difïérentier ou intégrer la fonction représentée par cette série en difïérentiant ou en intégrant chacun de ses termes, pour toute valeur de la variable intérieure au cercle de convergence.

Le but que nous nous proposons dans cette partie de notre thèse est de généraliser le Théorème de Cauchy, en l'étendant au cas où les différents termes de la série sont, non plus des puissances entières de la variable multipliées par des constantes, mais bien 'des fonctions synectiques quelconques.

Commençons par rappeler un théorème déjà connu en donnant à la démonstration et à l'énoncé un peu plus de précision , qu'on n'a l'habitude de le faire.

Si <pi (z), (?2 (z), <p.-> (z)- • • • représentent des fonctions finies et continues le long d'un contour de longueur finie Zq z,, si déplus la série

reste convergente et représente une fonction continue de z sur le même contour, on aura :

/f(z)dz =^^{z)dz-^^jrç^(z)dzi-ii (2)

^0 ^0 Zq

les intégrales étant supposées prises le long du contour en question.

En effet, soit R, le reste de la série (1), on a:

f (z) dz = -2, y^^ {z) dz -i-y R dz (3)

soit ^ le module maximum de R le long du contour d'intégration , nous aurons, en prenant le module de dz constant et égal à dr ,

Mod^^ dz < f^/^dr

Zq Zq

ou < l^o-.

<r désignant dans cette formule l'arc de contour z^ z^ , or <r est fini par hypothèse, ,« a pour limite o quand m augmente indéfiniment, donc .«««^ et par sulte^r R dz

tend vers o pour m ::^ oo , en passant alors aux limites l'Équation (3) fournit l'Équation (2). c. q. f. d.

W ne faut pas perdre de vue que le chemin z^ z^ doit avoir une longueur finie, et que les fonctions f {z) , (pi (z) • • • • doivent rester finies le long de Zq z^ , sans quoi le Théorème pourrait tomber en défaut.

Le point x étant supposé contenu à l'intérieur d'une aire (A), si les fonctions ç^ (x), çi^ (x) ■ • • • restent synectiques , si de plus la série

f (^) = <Pi (.3j) + Ç2 (x) (0

reste convergente et la fonction f (x) synectique on aura :

En elTet, multiplions les deux membres de l'équation (1) par — -^r

'^^\/-\ (z-xY

après y avoir changé x en z , et intégrons le long d'un contour intérieur à (.4) et' enveloppant le point x, nous aurons en vertu du Théorème précédent:

K /^ dz

2 ^ \/ - \y • ' ' {z- xy

t7r\/ - ly^ {z-xY t^y - \/ (z - xy

Or, si l'on remarque que , en général :

1 /^<p {z) dz p (? {z)

l'Équation précédente fournit précisément l'Équation (2).

Nous avons, dans la démonstration précédente, supposé le point x intérieur au contour (A) , afin de pouvoir décrire autour du point en question un contour le long duquel les fonctions f et çi, çi^ ■ ■ ■ ■ restent synectiques; aussi ne faut- il point s'étonner si l'on voit le Théorème tomber en défaut lorsque x se trouve sur le contour (A) lui-même.

Supposons la série

<Pi (x) + ç, (ar) + .... 9^ (or) -f .... (1)

convergente pour toutes les valeurs d\ comprises dans l'aire (A) , et les fonctions (pi, 9^ . • . • synectiques à l'intérieur de la mê^ne aire. Si en décrivant dans cette aire un petit cercle de rayon fixe, si petit que l'on voudra du reste, autour du point x comme centre, les modules maximum ."■i, f^i • •• • de çn, ip2 ■ ■ ■ ■ à l'intérieur de ce cercle forment une série convergente, la série (1) représentera une fonction synectique à l'intérieur de l'aire (A).

En etïet, soit f(x) la valeur de la série (1), h un accroissement infiniment petit donné à a; , on aura :

f{x + h) — f(x) = ^\<p(x^h)-ç (x) \ n étant bien entendu supposé assez voisin de 0 pour que le . point x -\- h soit intérieur à l'aire (A). L'Équation précédente peut s'écrire ainsi qu'il suit en observant que les fonctions (Pi, ç^ ■ ■ ■ ■ sont synectiques:

ou bien :

n.+/,)-Ax)=A^<!:a;.-.-i:H.-.))) (^)

Avec un rayon suffisamment petit et du point x comme centre, décrivons un cercle , prenons h assez voisin de 0 pour que x -\- h soit contenu dans ce cercle ; nous pourrons dans l'Équation (2) remplacer le signe g par une intégrale prise le long de ce cercle et l'on aura en appelant r son rayon :

/•(.r + h] - f[x] = ^ h s^ ' |^^^^__ + ^^ rfa.... (3)

/^ re — h

Soit actuellement ^ la plus courte distance du point x -{- h à. lo. circonférence le long de laquelle on intègre, fc le module maximum de 9 [z]. Sur cette circonférence, nous aurons:

Mod

ou < 2^ -^

L'Équation (3) donne alors :

Mod. I f{x + h) —f{x] j < Mod. -|- 2 ^,

(car, en vertu de notre hypothèse, 2^ est une série convergente). Or, 2,« est lixe, <^ ne peut que croître quand h tend vers 0, donc le module de /" [x + h) - f[x) a pour limite 0. Donc, enfin, f[x) est une fonction continue de x. c. q. f. d.

En second lieu, il est bien clair que la fonction f [x] ne peut avoir qu'une seule valeur pour une môme valeur d'ic, donc elle est monodrome, et en vertu de la convergence de la série (1) finie, reste à faire voir qu'elle est monogène.

A cet effet , divisons les deux membres de l'Équation (2) par k et développons le second membre ; il vient :

Mais la série dont le terme général est dit Iw^ ^^^ convergente; en effet, on a

? i^) ^ V^s {x + re

re 2«-

ou

de

o {[z-x] D'où l'on voit que :

Mod.^,

Or, la série dont le terme général est ^" est convergente; cette série étant à

termes positifs, la série dont le terme général est J^ 77^^— tt-t

UN I VER Si -

l'est aussi; enfin, répétant le même raisonnement sur la série dont le terme général est :

[z-x)Y[{z-x-h)) on verrait que les modules de ses termes sont moindres respectivement que

■11, l2- JL , que par conséquent cette série est convergente , et que le

module de sa valeur est moindre que

Or, quand h tend vers o, celte quantité ne croît pas indéfiniment puisque le seul facteur variable ^ tend vers r. On peut donc écrire :

[z-xY[z-x-h)))

A étant une quantité dont le module reste inférieur à une quantité finie quand h tend vers o. L'Équation (4) peut alors se mettre sous la forme :

c'est-à-dire, faisant converger h vers o :

Lim '-^ r — —^^ = 2 ip (x)

Cette équation ayant lieu de quelque manière que h tende vers o, on en conclut que f{x) est une fonction monogène et par suite synectique dans l'aire ÇA). c. q. f. d,

Supposons que x variant à l'intérieur du contour (A) , la série :

<Pi (.x) + <P2 (x) + ?„ (^) + • • ^ • (0

soit convergente et que les différents termes soient des fonctions synectiques , la série

p, (:x) Sin^ 2^ jt-]) ç., (x) Sin^ 2^ (^-2)

I 2- it-\) ]' + j 2- (f-2) j ' + ^•••- ^^> -•

sera convergente pour toutes les valeurs de t; de plus , les modules maximums de ses différents termes, quand x et t varieront à l'intérieur de cercles suffisamment petits, sera elle-même convergente.

En effet, la série

est convergente pour toutes les valeurs de t différentes de 1 , 2 , 3 • • • n • • • Pour le prouver, supposons le module de t compris entre n et n -f 1 et traçons un petit cercle à l'intérieur duquel t reste compris , mais ne contenant pas l'un des points 1,2,3-w-- Soit p le module maximum de t dans ce cercle , p un entier quelconque , on aura en valeur absolue :

Mod. (t-p) > p - p

Les modules des termes de la série (3) sont donc respectivement inférieurs aux termes de la série

+ T-l^Ti + • • • • 7-—n + • • • • (4)

Or, cette série est convergente comme ayant ses termes respectivement inférieurs

à ceux de la série

{n-\)^ (w-2)« que l'on sait être convergente, donc, la série (3) est convergente, et de plus on voit que la série des modules maximum de ses différents termes, lorsque ; varie à l'intérieur d'un cercle ne contenant pas les points i , 2 • • • n • -, reste toujours convergente. (Cette série est la série (4) du moins aux premiers termes près).

Cela posé , multiplions par ^ ' ^^^^ ^ "" ^ , la série des modules maximum

des termes de la série (3); on obtiendra une nouvelle série que nous appellerons (S) et qui sera convergente; enfin n-i, ^-i — désignant les modules maximum de <?,, Ç2 ••?„••■ à l'intérieur de l'aire (A), ces nombres ne croissant pas indéfiniment si on les multiplie respectivement par chacun des termes de la série (S), on obtiendra une nouvelle série convergente. Or, cette nouvelle série a ses termes respectivement plus grands , non-seulement que les modules des termes de la série (2), mais encore que les modules maximum des termes de la même série, quand x et t varient, le premier, dans l'aire (A), le second , dans un cercle ne contenant pas les points 4 , 2, 3 • • • n • • • : ce qui démontre le théorème énoncé.

Il résull» de là que la série ( 2 ) du § précédent représente une fonction synectique de t dans toute l'étendue du plan , excepté pour les points 1,2,3---n--et de X à l'intérieur de l'aire [A\.

Nous allons voir que les points 1 , 2, 3 ••• w •■• eux-mêmes ne sont pas des points exceptionnels pour la variable t. En effet, considérons cette variable dans le voisinage du point n et faisons abstraction dans la série (2) du terme contenant <p^ [x]; tout ce qui vient d'être dit pour la série (2) sera applicable à cette nouvelle série dans le voisinage du point n; elle représentera donc une fonction synectique de t en ce point. Si maintenant on vient à lui ajouter le terme

qui est une fonction synectique de t au point n, la somme, c'est-à-dire la série (2) elle-même sera encore une fonction synectique de t. c.q.f.d.

Supposons que x variant à l'intérieur de l'aire (A), (p^ [x] , ç^ [x] ■•• restent synectiques, et la série

convergente , sa somme f (x) représentera une fonction synectique d'x.

En effet, considérons la fonction définie par la série dont le terme général est :

?n [x] Sin.^ 2 T [t-n] j 2^ [t-n] \ '

Cette série , dont nous désignerons la valeur par ^ {x, t), représente, en vertu du théorème démontré au § précédent, une fonction synectique d'x et de t, et cette fonction pour ^ = 1 , 2, 3 • • • w • • • se réduit èi<Pi [x], (p^ [oc] ■■ ■ ç^ [x] ■■■ L'Équation (1 ) peut alors s'écrire :

f{x) = ^ (x, \) i- ^ (x, ^) + ■■■ ^ (x, n) 4- •••• ou ce qui revient au même :

Ce résidu, pris le long d'un contour qui enveloppe l'axe des x positifs, équivaut à la somme des trois intégrales

-/^(^ + V^)cîlV/^V^(?+''oV^=l) di-X^{i+r>,\/^)d^ (2)

lo désignant un nombre compris entre 0 et 1, «o, «i des nombres finis et zr la fonction qui entre sous le signe résidu, dans la formule précédente.

Or, ces trois intégrales sont des fonctions synectiques d'à?; en etïet, les quantités qui entrent sous le signe intégral sont des fondions synectiques d'à? , d'après ce que nous avons vu, leurs dérivées secondes sont donc également synectiques, et, par suite, on pourra appliquer aux intégrales en questions les règles de la différentiation sous le signe somme. De là résulte que ces intégrales sont monogènes et continues; elles sont évidemment monodromes, puisque, pour une même valeur d'j?, elles ne peuvent avoir qu'une seule valeur; enfin, elles sont finies, puisque la quantité sous le signe intégral ne devient jamais infinie ; donc, enfin , elles sont synectiques, et par suite la fonction f[x], qui est leur somme, l'est aussi.

En résumé, si x variant à V intérieur d'un contour (A), les fonctions

<Pi W . ?'2 W ■ ■ ■ ? W restent synectiques et la série

convergente :

1° La série (1) aura pour valeur une fonction synectique à l'intérieur du contour (A);

2° La différentielle et l'intégrale de cette fonction pour tous les points de l'aire (A) s'obtiendra en différentiant ou en intégrant chaque terme de la série (1), pourvu que le contour d'intégration soit fini.

Dans les applications de ce théorème il faut avoir le plus grand soin de tenir compte de toutes les conditions de son énoncé sous peine de le voir tomber en défaut.

Considérons pur exemple la série :

Sin X — Siyi 2 x Sin 3 x

voilà une série convergente : lorsque x varie le long de l'axe des x , ses termes sont des fonctions synectiques ù'x dans toute l'étendue du plan , et cependant elle représente, comme on sait, une fonction discontinue; de plus, si on la dilïérentie, on trouve une série divergente :

Cos X — Cos 2j; + Cos Sx —

Il semble que notre théorème tombe en défaut ; cependant, si nous regardons de près, nous verrons que nous l'avons mal appliqué, car il ne suffit pas (]ue la série en question soit convergente le long d'un contour, il faut qu'elle le soit à l'intérieur d'un contour fermé ; c'est ce qui n'a pas lieu, car cette série devient divergente pour des valeurs imaginaires d'x.

Si l'on intègre la série :

(1 -xY ['Z-xY [n-x]

d'après les règles indiquées entre les limites a? et oo on trouve : 1,1 1

Cette série est divergente. Pourquoi? C'est parce que le contour d'intégration était infini.

Enfin , considérons la série :

/Vï3 ^5 /y»7

oj U/ %IU

convergente quand le point x varie à l'intérieur et sur le cercle de rayon 1 décrit de l'origine comme centre, en la différentiant dans l'hypothèse x = 1, on trouve une série divergente. Pourquoi? C'est parce que l'on a appliqué le théorème que nous venons d'énoncer à un point du contour, et qu'il n'a lieu que pour les points intérieurs.

Du théorème que nous venons de démontrer on peut tirer un .certain nombre de conséquences importantes, que nous allons passer en revue.

Lorsque la série :

<Pi [x] + ç.^ [x] -h ■ ■ ■ p^ [x] ■■■ (1)

est convergente pour toutes les 'valeurs d'x situées à l'intérieur d'une aire (A) et que ses termes sont synectiques à l'intérieur de la même aire , la limite de la valeur de cette série, quand on fait tendre x vers a situé à l'intérieur de l'aire (A) , est précisément :

oi [a] + <p2 [a] + ■ ■ ■ (p^ [a] + ■ ■ ■

C'est tout simplement une autre manière de dire que la série (1) représente une fonction continue.

JL

Lorsque l'on veut trouver la limite de (1 + « xf on peut faire usage de ce théorème et la démonstration se simplifie beaucoup ; ainsi , on a :

[\+ux]'' =:i\+X-\- (1 -») H [\ -ec)[\ -^cc) ■ ■■{] -n-i u) ^

Les deux membres de cette équation sont égaux quelque soit » ; leurs limites sont donc égales ; mais les différents termes du second membre sont des fonctions synectiques d'« , dans le voisinage du point zéro ; on aura donc sa limite en faisant <« =:= o , ce qui donne :

Lim {] + et x) -=: 1 + X + jç^ + ■ • • a;° Le même raisonnement conduit à l'Équation :

Lim

si le produit continu :

est convergent pour toutes les valeurs d'x comprises à l'intérieur d'un contour (A), si pour les mêmes valeurs d'x les fonctions ^s-i , ot^ • • • restent synectiques , le produit en question représentera une fonction synectique à l'intérieur de l'aire (A).

En effet, si nous désignons par f{x) la valeur du produit continu (1) nous aurons :

/ f[x] = l ^i [x] -h l -sTç^ [x] + • '■ ■ l zT [x] -}- ■ ■ •

Si au point x aucune des fonctions zti , ^„ ■ ■ • ne s'annule , leurs logarithmes seront, en ce point, des fonctions synectiques, et, par suite, l f{x) et f(x) seront des fonctions synectiques d'à; également.

Ce raisonnement tombe en défaut si au point x quelques-unes des fonctions ari , 23-2 • ■ • '^n ■ ■ ■ passent par zéro. Supposons le nombre des fonctions qui sont dans ce cas, limité (à 3 par exemple], on décomposera le produit (1) en deux facteurs , dont l'un se composera des trois fonctions nulles au point x , ce produit étant alors composé de deux facteurs synectiques en a;, le sera lui-même.

Si, enfin, le nombre des fonctions w,, ^2 • • • nulles au point x est illimité, le théorème tombe en défaut. Voici pourquoi : le nombre des fonctions nulles au point x étant illimité, le terme général ^r^ ne saurait tendre vers l'unité quand on fait varier x très-peu, et f{x] sera nécessairement encore nul quand X aura varié très-peu ; mais f[x) ne saurait rester nul et synectique quand X varie ; donc f{x) n'est pas synectique dans le cas que nous venons d'examiner.

si, lorsque x varie à l'intérieur de l'aire (A), les fonctions ^i (x), ^r, (x)- Pi (x), 92 (x) •••• sont synectiques, et la fraction continue

convergente, la fonction f{x) 5era wne fonction synectique d'\ à l'intérieur de la même aire.

En effet, Qi, Q^'-Qa"" désignant les dénominateurs des réduites successives, on sait que l'on a:

23", 2<r„ •ar, zir, ar„ . . . ar^

Cl Cl C2 C2C3 Ca-iCn

et que la série composant le second membre de cette équation est convergente pour toutes les valeurs d'à; comprises dans l'aire (A). Or, Ci, Ca"' sont des fonctions entières de 91, 92 ■•■; elles sont donc synectiques; les termes de la série précédente sont donc également des fonctions synectiques; donc, enfin, f{x) elle-même est une fonction synectique.

ir

On peut, relativement aux séries doubles, démontrer des théorèmes analogues à ceux que nous avons démontré pour les séries simples; ainsi, on verrait facilement que :

l '^ Si la série double :

<Pl W + 92 W + fn [x]

(m) (m) (ni)

est convergente le long d'un contour (A) , et si ses termes ainsi que sa valeur sont des fonctions finies et continues, le long de ce contour, l'intégrale de sa valeur le long du contour en question s'obtiendra en intégrant chacun de ses termes le long du même contour supposé fini;

2" Si la série (1) a tous ses termes synectiques, si de plus sa valeur est une fonction synectique au point a, on obtiendra la différentielle de sa valeur en ce point en différentiant chacun de ses termes ;

3° Si les modules maximum des termes de la série (0 « l'intérieur d'un petit cercle de rayon r, si petit que l'on voudra, mais fini, décrit autour du point a comme centre, est convergente; si, de plus, tous les termes de la série (1) sont synectiques en a, la valeur de la série '[\) sera une fonction synectique d'x au point a;

i» La série double, dont le terme général est :

^^'\^y Sin^^^{t-n] Sin' 2^ {s - p]

et dans laquelle les fonctions ç sont synectiques à l'intérieur de l'aire (A), représente une fonction synectique d'x à l'intérieur de cete aire lorsque la série (1 ) est elle-même convergente, et de s et de t dans toute l'étendue du plan. Enfin, la série double formée par les modules maximum de ses termes , quand X , s , t varieront à l'intérieur de cercles finis, sera encore convergente. Ce théorème s'établira comme son corrélatif dans la théorie des séries simples quand on aura établi la convergence de la série :

A cet effet, on groupera les termes qui se trouvent dans le carré dont la agonale a pour extrémités — ■ -i- et ^ — de la manière suivante :

-i-.jL , (± ±, J- ±L I ^1,11 111

On obtient ainsi une somme moindre que : 11 (1

ou que :

± + jl + ± + ...,±

c'est-à-dire finie quand n augmente indéfiniment. Si l'on suppose alors que l'on fasse croître d'une manière quelconque le nombre des termes pris dans la série (3), ces termes pourront toujours être compris dans un carré, et par conséquent leur somme restera moindre que la limite s de ce carré ; mais cette somme croit à mesure que l'on prend des termes en plus, elle croit sans dépasser s, elle a donc une limite, et par conséquent la série (3) est convergente.

5® // résulte du 4^ Théorème que la série dont le terme général est l'expression (2) représente une fonction synectique à l'intérieur de l'aire (A) , et que en désignant par -^ (x, s, t) sa valeur, la série (1) pourra s'écrire sous la forme d'une série double ayant pour terme général -^ [x,n, p]\ ou bien encore sous cette autre forme :

^^i<){ie'^'''-\)){ie'^'tl))

Ce double résidu se transforme ensuite en intégrales doubles, fonctions synectiques d'x ; donc :

Lorsque la série (i) sera convergente à V intérieur de l'aire (A), et que ses termes seront des fonctions synectiques d'x dans la même aire :

/° Elle représentera une fonction synectique d'x ;

2° On différentiera ou on intégrera sa valeur en différentiant ou en intégrant chacun de ses termes.

Et ce théorème est soumis aux mêmes restrictions que son corrélatif sur les séries simples.

Ce que nous venons de démontrer pour les séries doubles s'étendrait avec la plus grande facilité aux séries triples.

Souvent les séries qui ; définissent les fonctions sont peu convergentes; on réussit, en s'appuyant sur les principes précédents, à transformer les séries en d'autres plus convergentes. Considérons, par exemple, la fonction définie par la série :

Cette fonction p [x] est synectique dans toute l'étendue du plan, excepté aux points 1 , 2 , 3 • ■ ■ n • • • D'après ce que nous avons vu , il en résulte , en vertu d'un théorème de Cauchy, qu'elle est développable par la formule de Mac-Laurin , pour toutes les valeurs du module à!x comprises entre o et 1 . Alors, en appliquant les principes sur la différentiation des suites, § (7), on trouve :

En désignant , en général , par s^ la valeur de la série :

On aura donc, pour toutes les valeurs du module ^'x, comprises entre o et 1 ■

Cette série est beaucoup plus convergente que (1)', surtout pour 'les petites valeurs de x , les autres valeurs d'à; se calculeraient au besoin par la formule :

obtenue en changeant a; en a; + 1 dans la formule [\].

En suivant une marche analogue à celle que nous venons de développer on prouverait que :

2 [%-x) 3 (3-x) n [n-x] Cette formule donne pour x

Oi', on a :