CHAPITRE
Généralisations des théorèmes de M. Juua.
4. Un théorème de M. VaïiRON. — Dans un mémoire récent ‘) en s'appuyant directement sur le théorème de M. Scnorrky, M. VaLiRoN a précisé les résultats de M. Mirroux sur le rayon des cercles de remplissage. J’indiquerai brêvement ses résultats parce que nous en avons besoin de quelques-uns et la méthode employée nous sera utile.
Soit f(x) une fonction entière ayant une singularité essentielle à l'infini. (M. VA- LIRON a considéré le cas un peu plus général où f(x) est holomorphe au voisinage du point à l’infini qui est un point essentiel). Il existe une suite infinie de cercles de rayons croissants indéfiniment sur lesquels la fonction f(?) prend des valeurs inférieurs à 1 en module. Sinon, nous voyons que pour r supérieur à un certain nombre r, la fonction Te serait bornée, ce qui contredit le fait que f(x) a une singularité essentielle à linfinie.
Alors soit || = r une circonférence C sur laquelle il y à un point au moins où f(] < 1, et soit 7, un point de C en lequel
PR = Mr, p),
M(r, f) désignant le module maximum de f(x) sur la circonférence C. Il s’agit d’etudiér la fonction f(x) dans la couronne circulaire :
le rG—z2)<hk}<r( +22),
‘ ut I ; où « est une constante positive 7; Ou une fonction convenable de r. Supposons
En ot
DAVIDL:R WILLIAMS.
que la fonction f(x) ne prenne pas les valeurs o et 1 dans le cercle R—kI<2axr.
De l'inégalité (10) il résulte que
QI Mr, f)°
pour x À l’intérieur et sur la circonférence du cercle R ai el 2 ar.
NV
Soit z, un point où cette circonférence traverse la circonfèrence C. Si f(x) ne prend pas les valeurs o et 1 dans le cercle [£ — x] << 2zxr il résulte que
ce & VAI>UVGRY > MG N° pour —x.| ar. Continuons ce procédé du point %,. Si nous ne rencontrons aucun cercle dans lequel f(x) prend l’une des valeurs o et 1 nous déduisons que la fonction f(x) vérifie l'inégalité de = LUS (5) fO> Mr, f)
dans le domaine formé par la suite de cercles de rayons ar et ayant les mêmes centres que les cercles employés dans le procédé, et par conséquent dans une couronne
FORT SSSR) où æ’ est un certain nombre «7 x, et le nombre »” figurant dans (13) est donné par l'inégalité
