MELLE
arc Sin —
Ici nous supposons que le second membre de (13) soit supérieur à un certain nombre C, pour que l'inégalité (ro) puisse être appliqué.
Mais si r est suffisamment grand Mr, f)" est supérieur à 1, et nous arrivons à une contradiction avec le fait que f(x) prend une valeur de module inférieur ou égal à 1 sur la circonférence C. Par conséquent il y a au moins un cercle ÿ de centre x, dans là couronne F dans lequel f(+) prend l’une des valeurs o et 1.
En appliquant le théorème de M. Scnorrky au plus grand cercle
Rares (ea Er)
dans lequel f(x) ne prend pas les valeurs o et 1 M. VALtRoN a été amené au théorème suivant :
Je
Soient f(x) une fonction entière ayant une sinçularité essentielle à Pinfini, K un nombre supérieur à une constante absolue, et « un nombre positif fixe ou une fonction convenable de r. Alors il existe des cercles C(f)
(159 Rae 2067 Vis TC CCR) ET ONCE ESS,
dont les centres s’éloignent indéfiniment, tels que dans C(f), f(x) prenne toute valeur Z de module inférieur à @(K7) sauf peut-être des valeurs qui peuvent étre enfermées dans
avec
un cercle de rayon du plan des Z, m et o©(K) étant donnés respectivement par
?(K) Pinégalité (14) et l'équation suivante
| ee
Au point x, et au centre du cercle C(f) nous avons l'inégalité
(6) FQI> €.
5. Distribution des racines de f(x) — P(x) où P(x) est un polynome. — Nous allons considérer la distribution des zéros de f(z) — P(x) où f(x) est une fonction entière donnée et P(z) un polynome quelconque de degré /7 p, et nous démontrerons qu’il existe des cercles possédant des zéros de f(x) — P(z) sauf peut-être pour certains polynomes, ces polynomes dépendant des cercles considérés.
En employant les mêmes notations que dans le numero précédent on sait qu’il y a dans l'un cercle de remplissage y de rayon
RC r220" ACER log Mr, f)?
tel que à son centre z;
