HAT

Soient x le point dans y où f(x) prend l’une des valeurs o et 1, y, et y, les cercles de centre x et de rayons R et 2R respectivement.

Soit è EC CHER te ER

un polynome de degré 7 p tel que la fonction F,(7) = f(x) — P,(x) n'ait pas de ztros dans le cercle y,. Pour les polynomes P(x) qui différent sensiblement du polynome P,(x) nous dtmontrerons que la fonction f(x) — P(x) posstdera un zéro au moins dans y,. Car supposons que le contraire soit vrai pour un polynome

PO=EC +. Le, n£h.

14 D'A VII DRE WETPL LT 'AMESS

Si q est le plus grand des nombres # et # et si les coefficients ic} des polynomes {P(x)} considérés sont tous inférieurs à K,, K, étant une constante ou une fonction

convenable de r, nous aurons pour | Æretr>1

ACIER CE RUE et

(17) PQ) — PGI Z 2 + 1) Ar.

Le cercle y, et par constquent le point x se trouveraient dans la couronne r

De RES 27

si À

SAN 7 4 & + DAN <& Fa.

c’est-à-dire si (18) L: + 1246” È de

(4 ET WT CU .

: log M(r, f) Nous supposerons pour le moment que cette inégalité ait lieu, donnant plus loin

les valeurs de « et À pour qu’elle soit satisfaite. Au point x nous avons es

1, GI ZIP, Gr) + 17)

dt net

ZG+DEGN+:.

En donnant une borne inférieure au premier coefficient de P{7)— P (x) on peut = trouver une borne inférieure pour |P(4) — P,(z)|. En effet on a : POSER ER 2 AVÉCR os 10, cha 2 Aer er alors & PO — PIS IR IE + ce +] ou

is SAR 6 (20) DES nn ae ES AL $ be r—1 | pourvu que 7] == 7 >> 1. En prenant