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Pied K = 4(p +1)logr r étant supérieur à C;.
Il nous reste à choisir « tel que l’inégalité (18) ait lieu. En eflet f(x) étant une fonction entière on sait que la fonction log Mr, f) est une fonction convexe et crois-
et donc si
‘sante de logr, d’après un théorème de M. HapamarD. Par conséquent le rapport de
16 D'ANVTID ER AVI LI AMMIS:
log r à log M(r, f) tend vers zéro lorsque r croit indéfiniment: alors, æ étant fixe, est fixe et K gr TOC TO I PAM SX.
68 Mr, D) fr er VE
. I qe ! EUR pour r > un certain nombre r,. En prenant a LS nous voyons que l'inégalité (18) est vérifiée.
Interprétons maintenant l'inégalité E ce qui devient, en tenant compte de (23)
Gr) BL
Par définition q est le plus grand des nombres ? et n, et « est le degré de P(x) — P,(x). Quatre cas se presentent:
Sin TENSIONS UE)
[c, E c,| = ir
Alors on dèduit que la fonction f(x) — P(x) s’annule dans y, pour tous les polynomes P(z) pour lesquels
RIM et LES
DOI = => oO A
4 2 $ ENTES pour DES S ARENCE et
Alors la fonction f(x)— P(x) s’annule pour tous les polynomes P(+) de degré n—t dont les premiers # — © coefhicients sont les mêmes que ceux de P (x) et
lc Se
ue . . 1 re 3° Sin >> 1 l'inégalité (21°°) devient
lc, = ous
ER Tr
et on voit que la fonction f(+)— P(x) s’annule dans y, pour les polynomes de degré
inférieur à # si fe | >>
ï en
COMPLÉMENTS AU THÉORÈME DE M. JULIA. Wz
AMOR ER Dn à
, 2 c| A Par conséquent si le premier coefficient de P (7) est > — la fonction f(z) — P(x)
, s’annule dans y, pour tous les polynomes de degré n <t. Il est bien entendu que les coefficients des polynomes considérés sont inférieurs
à Le en module. En rassemblant tous les résultats on a le théorème suivant: THÉORÈME 3. — Soient f(x) une fonction entière donnée et re n n—1 PO= THE LT + ee +
un polynome de degré 7 p et tel que lc] <'K,. Soit k]=7r C> un certain nombre r.) une circonférence sur laquelle il y à au moins un point où |f(R)Z1. Dans la couronne
Qi — 2a)r <<] (I + 2a}r, œ étant un nombre fixe + il existe un cercle de remplissage Y de rayon r log r og Mr, D)?
(CH une fonction de p et «) possédant la propriété suivante: ou bien la fonction f(x) — P(X) s’annule dans Y pour tous les polynomes P(x) pour lesquels
X, — a ) ou bien parmi les polynomes de cette famille il existe un TE AT EE 2
tel que la fonction f(x) — P,(x) ne s'annule pas dans y, tandis que f(x) — P(X) s’annule dans ÿ pour tous les polynomes P(x) pour lesquels on a
; 2 RUN ER 7, A À 2 2 Mn ice CpOUT LI NS RES lo Let, ln — | Pie, FE £ 2 3 PE NE Del A ed = r
WiLLraMs. 3
et pour les polynomes de degré <[t pourvu que
Ho
On doit remarquer que le polynome P (x) peut dépendre du cercle de remplissage considéré. En outre, plus le cercle de remplissage y est éloigné plus est étendu l’ensemble admis des polynomes P(x).
Pour les fonctions entières d'ordre fini il existe des couronnes r | < kr, k un nombre fini, dont les rayons croissent indéfiniment dans lesquelles f(x) prend lune des valeurs o et 1 et telles que
log M(&r, f) < blog Mr, f), h étant un nombre fixe “#). Cette propriété nous permet d’exprimer la quantité R en
fonction du module de laffhixe du centre de y. En prenant « tel que 1 — 2x >
k des calculs faciles nous amènent au th£orème suivant:
THÉORÈME 3,. — Soient f(z) une fonction entière donnée d'ordre fini et M nt Rs unes Cu
un polynome quelconque. Il existe une suite infinie de cercles {C,(f}} d'équation
k H(, DR (ok, (f) ARE EE v ee L RS log M (kr, (D, P)
H(f, p) étant un nombre ne dépendant que de f(x) et p, possédant la propriété suivante:
ou bien la fonction f(x) — PC) s’'annule dans C,(f) pour chaque P(x) de l’ensemble de polynomes pour lesquels
ei < er
ou bien parmi cet ensemble il ÿ a un polynome ere ’ ot PH) =cx DA Ce ie RUE F0,
tel que f(x) — P,(R) re s'annule pas dans C,(f) tandis que f(x) — P(X) s'annule pour tous les polynomes P(x) de degré n = t si
LCR
