FRE ACER CERN MR EN RE

L’addition de — P(x) à f(x) est la même chose que le changement des # +71 premiers coefhicients de f(x). En faisant jouer au point 4, (t << i 7 p) le rôle de lorigine dans le plan des c,, et au point 4, — c' le rôle du point c! dans le plan des

c, (61), nous pouvons définir des domaines 4°,

nous montre que si nous faisons varier le point 4,, 4,, ..., a, dans un quelconque

analogues aux A°,. Le théorème 3

des domaines Aîe toutes les fonctions correspondantes s’annulent dans le cercle C, (f), ces domaines dépendant de f et de C,(f).

6. Maintenant nous démontrerons qu’il n’y a qu’un polynome qui est exceptionnel pour l’ensemble de cercles $C,(f}}. Supposons que

PO = GX + Hé

soit un tel polynome exceptionnel. Soit

POŸES 6 AE ar 0

un autre polynome quelconque: alors f(z)— P(z) s’annule dans un cercle de la suite {C,(J}} assez éloigné. Supposons que le contraire soit vrai. Te de :

Prenons une suite de circonférences fr] = r;, (r, r,,,, i —0, r, ...) telle que

sur chacune il y a un point au moins où |f(x) Z 1. Alors il existe une suite de cercles {C;(f)} de rayons

Désignons par e, le rapport

D'après le théorème de M. Hapamarp cité précédemment on voit que <, tend vers zéro lorsque ; tend vers infini.

Soit p le plus grand des nombres # et # et prenons à le plus petit entier tel que

Ve,

Soient K, le plus grand des modules des coefficients de P(z7) et P (x), w le plus petit entier tel que

Ad er X, ce es ) et L le plus petit entier tel que Cl > — .

Vr,

Les polynomes P (7) et P(x) n'étant pas identiques, pour au moins une valeur de : nous avons €, — co. Soit K le plus grand de ces nombres i et prenons M le plus petit entier tel que us Vru Désignons par N le plus grand des nombres à, w, L et M. De la façon du choix de N et des calculs de 5 il résulte que la fonction P(7)—P (7) ne s’annule pas dans Cx(f). Evidemment le même résultat a lieu pour les cercles C,,,(f), Cr.,(f}, --..

Ex — xl >

Finalement le rayon du cercle C,(f) est égal à H (x)Vexry, où H (x) ne dépend que de «. La distance du centre de C,.(f) à l’origine est inférieure à et

pat suite le rapport du rayon de C;;(f) à la distance de son centre à l’origine tend

vers zéro lorsque N croit indéfiniment. Nous pouvons énoncer le théorème suivant: THÉORÈME 4. — Étant donnée une fonction entière f(x) il existe une suite de cer-

cles C,(f) de centres 3, (Kk]=r,) s’éloignant indéfiniment et de rayons d,r,, d, tendant

I 7 CA Vers xéro avec ——, telle que Péquation