FO — PO
possède une infinité de racines dans l’ensemble des cercles pour tous les pol;nomes P(x) sauf un au plus.
En faisant usage d’un raisonnement de M. VarioN ‘) on déduit immédiatement un résultat qui généralise la première proposition de M. Juita énoncée dans Pintro-
omErct)}Ghap. VVL
duction. Soit L une courbe continue procédant de l’origine à l'infini, et franchissant chaque cercle de centre l’origine en un point seulement. On peut la représenter par l'équation
0 RAC) avec F(r) une fonction de r continue et uniforme pour toutes les valeurs de r. Supposons que F(1)—9,. En faisant tourner L autour de Porigine par un angle & (o 9 27) on obtient une courbe Z, d’équation
= F()+e Une telle courbe et une seule passe par chaque point du plan. Soient Z(v) la courbe qui passe par le centre du cercle C,(f) et x,—e" le point où L(v) franchit le cercle || = 1. La suite infinie de points {x,} à au moins un point limite, soit X — e*. La courbe qui passe par le point X — e* se déduit de L par une rotation à travers un angle 4 — 0 et par conséquent est d’équation
Puisque le rapport du rayon de C,(f) à la distance de son centre à lorigine tend
vers zéro lorsque v tend vers infini il est évident que la bande comprise entre les deux
courbes
O— F(r)—0 +d—e et 0— F(r)—0 +d+e, £ étant positif et arbitraire, contient une infinité de ces cercles. Le théorème précédent s’applique à cet ensemble de cercles et nous avons la proposition suivante:
THÉORÈME 4,. — Soit L'un chemin continu procédant de Porigine à linfini, et n'ayant qu'un point commun avec chaque cercle de cenire origine, et B une bande balayée par Len le faisant tourner autour de l'origine à travers un angle d'ouverture aussi petit que l’on veut. Étant donnée une fonction entière f(x) il existe une bande PE dérivée de B par une rolation autour de l'origine, dans laquelle la fonction f(x) — P(z} s’'annule une infinité de fois pour lous les polynomes P(x) sauf peut-être un.
Nous ferons quelques remarques qui généralisent un peu les théorèmes 3-4.
1° Il est évident que si f(x) n’est pas holomorphe dans un cercle fj < C on ne change rien d’essentiel dans les calculs de 6 $ pourvu que l’on ne considère que la région à l'extérieur de ce cercle. Alors les théorèmes 3-4, restent vrais si au lieu d’une fonction entière f(x) nous prenons une fonction F(7) qui est holomorphe à l’extérieur de |] << C sauf à infini où elle possède une singularité essentielle.
2° Au lieu d’un polynome prenons une fonction H(z) holomorphe à l'extérieur d'un cercle fx} € sauf à l'infini où elle possède un pôle. Le développement de H (x) à l’extérieur de ce cercle est de la forme
LR
2 ce, - AE ess Les
Le théorème 3 s’applique à ces fonctions si les coefficients vérifient Pinégalité 1œ
fie ; ES, (SRI 0 ETI SE D
En modifiant ce résultat dans l’ordre des idées de théorème 4 et en le combinant avec la remarque 1° nous avons l'énoncé général:
THÉORÈME 5. — Soient F(x) une fonction donnée holomorphe à Pextérieur d’un cercle |} °C sauf à linfini qui est une singularité essentielle et (x) une fonction holomorphe à l'extérieur d'un cercle |] °C, sauf à l'infini qui est un pôle. Alors il existe une bande d'ouverture arbitrairement petite dans laquelle l'équation
FG)—1N(G = o
possede une infinité de racines pour tous les (x) sauf un au plus.
7. Les zéros de f(x) — R(x) où R(zx) est une fonction rationnelle. — Puisque les fonctions rationnelles n’ont pas de pôles à l’extérieur d’un certain cercle sauf peut-être à l'infini on peut s’attendre à ce que la méthode employée dans le cas d’un polynome s’étende au cas où P(X) est une fonction rationnelle. C’est cette extension que nous nous proposons de considérer dans ce numero.
Soient €, une circonférence sur laquelle il y à un point x, où f(x) 1, et Fr la couronne
EÉI — 22) hf Tr ax), a —.
Il existe dans cette couronne un cercle y dans lequel f(x) prend l’une des valeurs o et 1 et à son centre on a [f(x =>e". Soient x un point où f(x) égale o où 1, y, et
y, deux cercles de centre x et de rayons R et 2R et R(x) et R,(x) deux fonctions rationnelles :
