RO=YD, RO=YE

avec M, (D = RU + a, ARE + La + 2 M, () — a, 7" - CPE Net - A =! 4, OT ES SE On ER nt 22

NO = PRE HD Ra ee HU

Nous supposerons que le numérateur et le dénominateur de R;(7) G = 1, 2)

n'aient pas de facteurs communs, et que les nombres #»,, "1,, #, et n, Sont tous inférieurs à un nombre p. Pour simplifier les calculs nous admettrons que le coefficient

du terme de degré le plus haut du le dénominateur soit égal à 1. Si cela n'a pas lieu, il ne suffit qu’une division du dénominateur et du numérateur par une même quantité pour que la condition soit vérifiée.

Supposons que la fonction f(x) — R,(x) ne s’annule pas dans le cercle y,. Nous démontrerons que, si les deux fonctions R,(x) et R,(x) différent sensiblement, la fonction R,(x) n’est pas exceptionnelle pour le cercle y,. Car supposons que le contraire

soit vrai.

Le cercle y, se trouve dans la couronne

c AA EC T <ki<< si

(24) : 2ar+2R< TT.

Nous supposons pour le moment que cette condition soit vérifiée. Si les coefficients des polynomes {M(2)! et {N (x)? sont tous inférieurs à ÆX en module on a pour KH=r 1:

LM GO Cr, Ko, NOR EEE 1

(25) | MCE Gr 1) re SN ONE AGREE

D'autre part GLS fe — fx + 2e > fi — K (TH ee Lr Ho)

TA ESS Kurt Tr — 1 ou (26) IN @> — si R=r>2KX + 71, et d’une même façon on a (27) IN, QI >.

La différence des deux fonctions R,(x) et R,(x) peut se mettre dans la forme 81€) NON, @

QC = a" Gb Ha Jet ee.

au [a paie + (a, pie + a, ,) HE ci Ÿ= 5

Veais DE To trs FH WERE ti \

Soit g le dégre de Q(x). On peut le mettre sous la forme

DCR EME TL Re

et ensuite IG D |, — fe, 7

Quelques calculs faciles nous montrent que la borne supérieure des modules des coefficients {c} est inférieure à 2(p + 1) C°. Alors on a pour {|=r>1

: 4 2 ET) KE 2(p + 1)K° OO ra ion: che DATES 7 AS — VAL je NS c,| Fe

et par conséquent

[QG > TK > (pLi)Æ nr si on prend

r étant > 3. Nous mettrons

Gs) =)

et alors l'inégalité (28) devient