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NG@ << 2(m, + Se

DE Do

et JR OR O1 0

à « r SA Par conséquent pour un point x dans la couronne . Lis 3

M (z ÈTe ce RS) < 2 + Dr” et (32) RO = RG 256 EE Dr.

Les zéros des polynomes N (x) et N (7) se trouvent à lintérieur du cercle I] 1 + K° : par suite à l’extérieur de ce cercle R (x) et R,(x) sont holomorphes sim, Ln, et m, Ln,, et sont holomorphes sauf à linfini si m, > #, et m, >n,- Les fonctions f(x) — R,(x), f(x) — R,(x) et R,(x) — R (x) sont holomorphes pour ki=>> 1 + K sauf à Pinfini.

Le nombre Æ, étant nécessairement N 1 toutes les conditions que nous avons données pour la borne inférieure de r sont contenues dans la condition

ER DCE EC ce qui est vérifiée si r >> 8.

Les fonctions f(x) — R,(x), f(x) — R,(x) et R,(2) — R (x) ne s’annulent pas dans y, et donc la fonction JO — RQ k,@ — RE

est holomorphe et ne prend pas les valeurs o et 1 dans y,. Le théorème de M. SCHOTTKY s'applique et nous avons pour 4j — x Z R

—+ [Max. de |R (x)| dans +].

En tenant compte des inégalités (30), (31) et (32) on a

Her à

h étant une constante. En particulier cette inégalité a lieu pour le centre x{ du cercle : . ’ « : CDR NE Tour 1 K de remplissage y. Mais d’après (16) on a aussi pour x = %X l'inégalité f(x) >> e*, et donc nous arrivons à une contradiction si 10p+22 HT RE

ou si , 14 K >= (109 —- 4) log 7 pour r assez grand. Prenons K = (1op + s)logr.

On voit immédiatement que l'inégalité (24) est vérifiée pour r assez grand et rm

Alors pour deux fonctions rationnelles dont les coefficients vérifient les inégalités (28”) et (29) il est impossible que les deux fonctions f(x) — R,(x) et f(x) — R (x) ne

possèdent pas de zéros dans ÿ,. Interprétons maintenant la première de ces inégalités.

Pour cela nous mettrons une fonction rationnelle dans la forme

Ter eu a GARE nt 7e Ua + a RGO = M et

LOC BTE be

où s est un nombre entier qui est positif, zéro ou negatif selon que le degré du nu-

mérateur est supérieur, égal ou inférieur à celui du dénominateur. La fonction R (7) que nous avons supposée exceptionnelle, s’il y en a, peut s’écrire

SE, LAN CA + CRETE RU ie TE = a, ER cn ee

Nous considérons la famille de fonctions rationnelles pour lesquelles les modules des

QE

Nous

: 2 SRE r coefficients du numérateur et du dénominateur sont inférieurs à (1) 4 +4 supposons que g soit égal au plus grand des entiers m,—+-n, et m Æ#,, en d’autres PP q g 8 P 8 UE ! 29 termes nous supposons que 4, 4,,, si s —t. Cette restriction est faite pour simplifier l'énoncé du théorème actuel, après lequel nous nous en passerons. Il y a trois cas à distinguer:

o . Se LC 4 ER 1° Sim, +n, = 1m, + n, l'inégalité (28°) donne

ere a. F4

Alors on déduit que la fonction f(x) — R(x) s’annule dans y, pour toutes les fonc-

28 D'AV TD MR N PTT A UMTS.

tions R(x) pour lesquelles

= et DR Eee ee | y v+t K; 2 Sim,—Ln >> m,+n, l'inégalité (28) donne la! ns ja, D k: 2

et on voit que la fonction f(x) — R(x) s’annule dans y, pour les fonctions R(x) si