ANRT EC Mis r

3° Sim,—+n, <m, + n, l'inégalité (28') donne Je, | > re 2

et il résulte que la fonction f(x) — R(x) s’annule dans y, pour les fonctions R(x)

où 5 <T # pourvu que la, > on e

En rassemblant ces résultats on peut énoncer le théorème suivant: THÉORÈME 6. — Soient f(x) une fonction entière donnée et R(x) une fonction rationnelle

t+s #+s—1I R y = Atst Here Le Se, Ha, © = A NT A ni À == o° où les degrés du numérateur et du dénominateur sont inférieurs ou égals à p, et les coefficienis sont inférieurs à K, en module. Soit |] — r une circonférence sur laquelle il y a au moins un point où |f(x) 2Z 1. Dans la couronne

r 3r A , FA a 5 TRE 5 il existe un cercle y de rayon r log r kR ne 2 æ& 6" 10 RP SEL us 2 < 24 ( D + Dreartes ñ) ; ë È I Tr 4 hr x s) = où x É et m< re possédant la propriété suivante: ou bien la Jonction arc sin =.

FC) — RD) s'annule dans Y pour toutes les fonctions rationnelles R(x) avec

Ke (es): |

ou bien parmi les fonctions de ceite famille il existe une

v+t V+ 1 , RAR} — CPE + D RAPARE Æ - dæ

LH RH Hi

telle que f(x) — R,(X) ne s'annule pas dans y tandis que f(x) — R(z) s'annule pour toutes les fonctions R(z) pour lesquelles

en)

1° ET Lee a a 4 >” 0 so CETTE. a (#-Es) ; , Fe CR EC ra (#4)

En supprimant la restriction que nous avons faite sur qg nos calculs nous montrent qu’il n’y a qu’une fonction rationnelle qui est exceptionnelle pour une suite infinie de cercles s’éloignant indéfiniment. Car supposons qu’il y ait deux fonctions ex-

ceptionnelles © M, VS - KR, (x Un Prenons une suite de circonférences désTayons r, fespeciivementiavec fe Pet lim r, — co, telle que sur chacune il y a un point où |f(x)} 2Z 1. Alors il existe une suite de cercles de remplissage {C;(f)? de rayons log r,

R; = 2446" (10p + Dr

Désignons le rapport e. et soit M, le plus petit des deux nombres

og r; log Mr, 1) . et (r.)”, avec Ô <Z 1. Le nombre p étant le plus grand des degrés de M,(X et Ve.

N,(2 (Gi = 1, 2), prenons m le plus petit entier tel que

10 p cn à. < M, Dans ce cas le rayon R, du cercle C,(f) est inférieur à HŸe, r, pour im, où H

KR; ne est fixe, d’où il résulte que - tend vers zéro lorsque r, croit indéfiniment. D’autre Ë

patt pour 1 m on a

S Ur; ET Ée Ge à SE

une quantité qui croit indéfiniment avec 1.

30 D'ANARD AR MENVATIEATE I AMIS;

. nie 2e Soit C la borne supérieure des coefficients de R (x) et R,(x). Ces fonctions né

tant pas identiquement égales il résulte que QG) =MON GE MGR EED et alors il y aura-un entier o tel que O(2) = rc EC où ÉRAO

Soient X le plus grand des nombres C, — Re Er et N le plus petit

nombre >> #” tel que

Des calculs faits dans la démonstration de théorème 6 il résulte que R,(x) — R,(x) ne s’annule pas dans C,,(f) et ensuite en employant le même raisonnement nous arrivons à une contradiction en supposant que les deux fonctions R (x) et R,(z) soient exceptionnelles, d’où:

THÉoRÈME 7. — Soient f(x) une fonction entière donnée et R(x) une fonchon ra-

tionnelle de la forme

a, k2 7e ire RS Re Fa se da za + br Es + ah ci b,

où le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteur commun. Il existe une suite infinie de cercles }C,(fY} de centres {x }(|x,| = r,) s’éloignant indéfiniment, et de rayons

{dr}, d, tendant vers zéro avec —, telle que l'équation f(x) — R(X) — 0 posstde une

infinité de racines dans l’ensemble des cercles pour toutes les R(x) sauf une au plus.

Puisqu’une fonction rationnelle à au plus un pôle à l'infini, on remarque que dans le cas où le degré du numérateur de R(z7) est supérieur à celui du dénominateur le théorème 7 est contenu dans théorème 4, le polynome P(z) ayant été remplacé par une fonction II(x) holomorphe à l'extérieur d’un cercle || = r, sauf à l'infini qui est un pôle.

THÉORÈME 7,. — Soit f(x) une fonction entière donnée et R(z) une fonction rationnelle définie dans le théorème précédent. Il existe une bande d'ouverture arbitrairement. petite dans laquelle la fonction f(x) — R(x) à une infinité de zéros pour toutes les R(x) sauf une au plus.

Les théorèmes 6-7, s'appliquent encore si au lieu d’une fonction entière on prend une fonction Æ(x) holomorphe au voisinage du point 4 l'infini qui est une singularité essentielle.

8. Les zéros de f(x) — g(x) où g(x) est une fonction entière d'ordre nul, — Nous allons généraliser les résultats de $ 5 en remplaçant P(x) par une fonction entière d'ordre nul. Nous ferons d’abord quelques remarques.

Premièrement, soient k’ supérieur à 1, N un nombre entier 0 et h un nombre tel que

(34) b> Cr + h) + 107 (N + 1)2

Soient x, un point de la circonférence | =r où le module de f(z) prend son maximum, et L une courbe quelconque de longueur hr qui part de x,. En partant de x et en cheminant le long de Z moyennant des cercles de rayons 2247, à la façon employée dans $ 4, nous arrivons au bout de L après un nombre d'opérations au plus

h c ; : : « égal à 1 + —. Si nous supposons qu'aucun des cercles ne contienne un point où

f(x) prend l’une des valeurs o et 1 il résulte des calculs de $ 4 que l'inégalité