MR, D

où © est un nombre positif inférieur à ». Soit k un nombre supérieur à k’ et choisissons de la suite $R'? une autre suite

{R} telle que les couronnes À S [x A ER)

ne soient pas empiétantes, ce qui est évidemment possible. g. Soient f(x) une fonction entière d’ordre positif et R un des nombres {R;t quelconque. D’après le théorème que nous venons d’énoncer il y a au moins un point

dans la couronne L 1 ’

où f(x) prend lune des valeurs o et 1. Par conséquent il existe dans l’ une portion d’un domaine B, comprenant un ou plusieurs domaines simplement connexes, tel que sur son contour nous ayons

(38) GI = e”,

et à l’intérieur (38°) HO,

A étant un nombre compris entre o et log M(R, f). D'après un principe du module maximum d’une fonction holomorphe on voit que B ne peut pas former une région annulaire entourant l’origine.

Supposons d’abord que Pun (B,) des domaines constituant B soit contenu dans

16) G. VALIRON, Sur une propriété des fonctions méromorphes d'ordre positif [Bulletin des Sciences Mathématiques: 2° série, t. L (1926), p. 168-174]. M. VALIRON, avait déjà énoncé un résultat analogue pour les fonctions entières d’ordre non entier dans sa monographie: Fonctions entières et fonctions méromorphes d’une variable [l. c. 7)]. Le même résultat pour les fonctions d’ordre entier se déduit immédiatement des calculs de $ 13 Chap. 3 de son livre: « Lectures », L. c. 9).

un cercle de rayon 6(R) R, 8(r) étant une quantité qui tend vers zéro lorsque r croit indéfiniment et que nous préciserons plus tard. Ce domaine B, est compris dans la couronne

Lam )R<R< UE +R Alors k étant un nombre supérieur à k', B, se trouvera dans la couronne

: I IN Z À Se kel A k R, si R est pris assez grand pour que

(39) OCR) . ns

Si g(x) est une fonction entière d’ordre nul, dont nous désignons le module maximum par Mr, g), et x un point sur le contour de B,, nous avons