BC MER

d’où il résulte que

HQ]

| f a Fe

en prenant

(40) A > log M(ER, g).

D’après le théorème de Roucné on voit que les équations OS RC ent CUT

ont le même nombre de racines dans B,. Mais la fonction f(x) possède au moins un zéro dans B,; car sinon, la réciproque serait régulière dans B,, et sur son contour;

par suite prendrait son maximum sur le contour, ce qui est impossible d’après

1Q) (38) et (38°). La fonction f(x) — g(x) à donc au moins un zéro dans B.

10. Prenons maintenant le cas où aucun des domaines constituant B n’est contenu dans un cercle de rayon Ü(R) R. N étant un nombre entier à préciser nous allons démontrer que dans au moins un cercle (C) de rayon OCR) R, à l'intérieur de la couronne TV, il existe N — 1 cercles dans chacun desquelles f(x) prend l’une des valeurs o et 1 et qui sont tels que la distance entre les centres de deux cercles quelconques soit au moins égale à 104R. Nous choisirons N et Ü(r) de sorte que

(41) 1O(N + 1)« <COÇR),

34 D'AVT DR. WILLIAMS:

c’est-à-dire d’après la valeur donnée pour «x dans Ç 9

9CR)lo8, MUR, f).