NAS

Mais R étant un des nombres {R}, cette inégalité est vérifiée si

à cO(R)log R N 3 it ss Er) et à partir d’une certaine valeur de R si fee 2 CUNCESS 11h Prenons , T2 p: 5 CNE = (log r) B,

où 8 est un nombre positif aussi petit que l’on veut. Alors on a pete: 1—$8 NF TR ElOSAR) EE "E

Soient À une courbe sur laquelle le module de f(7) prend son maximum, À le point où cette courbe franchit la circonférence || = R, et L une courbe joignant À à un point à l’intérieur de B. On peut trouver une courbe L de longueur au plus égale à ({r+k'")R. Partons de À et cheminons le long de Z moyennant des cercles de rayon 24R. Nous arrivons dans B après un nombre d’opérations au plus égal à

QT +:

et si nous supposons que f(x) ne prenne pas les valeurs o et 1 dans aucun des cercles employés nous aurons l'inégalité

(42) FQOI> LM, PP

re valable sur toute la courbe L. Le second membre de (42) étant supérieur à d'esM(RM1* cette inègalité sera en contradiction avec (38°) quand nous arrivons dans B si

(43) 3 A = |los MCRe)

Ô étant positif et inférieur à 0 Par conséquent l’un au moins des cercles employés

sera un cercle de remplissage (S).

On remarque qu’avec la valeur de 4 donnée en (43) l'inégalité (40) est valable pour des valeurs de R suffisamment grandes. En effet on a 4 > R°°, où Jo > 0:

D'autre part g(x) étant d’ordre nul À De b; \n log M(RR, g) <(kR})", n étant aussi petit que l’on veut si R est grand. Par suite ce que nous avons constaté devient évident.

Soient y, le premier cercle (S) rencontré en cheminant le long de L et y son centre. Il peut arriver que y, est le premier cercle employé; sinon l'inégalité (42) est vérifiée sur larc de L joignant le point À au centre de y,. Tracons les N +7 circonférences (B;) d’équations

R— y] = 1012, (= 12, ANNE).

On est assuré que tous ces cercles traversent une région B, qui empiète sur Y,; autrement il y aura un domaine B qui est compris dans un cercle de rayon 10(N + 1)2R et par conséquent, d’après (41), dans un cercle de rayon O(R) R, ce qui contredit notre hypothèse actuelle sur B.

Partons du point où la circonférence B, franchit ou bien la courbe Ay ou bien la portion de la courbe A à l'extérieur du cercle |] 7 R, et cheminons le long de B, moyennant des cercles de rayons 2x R. Alors nous sommes assurés que lun des cercles employés est un cercle (S): sinon l'inégalité