QG) MIO EU FAI CRIS

la fonction F(g) étant holomorphe pour |g| 1. La formule (1) nous montre que Jo) est holomorphe dans le domaine qui correspond à la couronne o la <a plan des g, c’est-à-dire dans le domaine défini par les inégalités

se TES) AMP,

où {(w) désigne la partie imaginaire de w, & est arbitrairement petit et M est arbitrairement grand. |

La fonction J(w) prend une fois et une fois seulement toute valeur dans le triangle curviligne défini par les Cgalités et les inégalités

I x Di RERO Es NM Ro EE

R(o) étant la partie réelle de w. Il suffit de connaitre la fonction J(w) dans D pour la connaître dans tout le demi-plan positif. La fonction inverse w(y) de J(w) est une fonction multiforme possédant une infinité de branches. Dans notre discussion nous

considérons la branche w(y) de o(y) qui correspond au domaine fondamental de J(o). Soit f(x) une fonction qui est holomorphe et qui ne prend pas les valeurs o et 1 dans le cercle || < 1, et soit f(o) = 6, 3< 0. En employant ces propriétés de la fonction modulaire M. Vtt a démontré, d’après M. Lanpau, que l'inégalité ©)

log FOI < Y (F0) ——

est valable pour {| 7 r 1, où

HO EC Re a + log Æ,

K désignant le module maximum de g/(w) pour lg| = €

En faisant une modification legère dans la démonstration de M. Varrmrox on

aura

2) log FOI <<? (FC) —7

avec

20) = 27] H(0G) + a re og K.

De linégalité (2) nous déduirons une autre qui donne une borne supérieure pour If()| très utile pour les applications. Cette inégalité a été déjà énoncée sans démonstration par M. VALIRoN “).

Soit

le développement dans le voisinage du point y = f(o) de la branche de la fonction © (y) qui correspond au domaine fondamental D. En remplaçant dans cette série y par f(R) nous aurons le développement

D = 0) = a, + af (o)r +»

9) G. VALIRON, Lectures on the General Theory of Integral Fonctions (Deighton, Bell and Co’ Cambridge, 1923), Chap. 6. Nous renverrons le lecteur à plusieurs reprises à ce livre sous le titre de

« Lectures ».

SA Con à