INTRODUCTION

UXNIVERSIT

Ce troisième Volume contient les Leçons que j'ai faites à la Faculté des Sciences dans ces trois dernières années. Il est, comme je l'avais annoncé, à peu près entièrement consacré à l'étude des équations différentielles. On ne trouvera pas cependant, dans ce Volume et dans ceux qui suivront, un ouvrage didactique sur ce sujet qui est immense ; bien des points classiques ont été laissés de côté, et, à cet égard, le titre de Traité cU Analyse , s'il n'était consacré par la tradition, serait assez mal choisi. Le temps des encyclopédies semble passé; j'ai eu surtout pour but d'exposer dans mes Leçons, avec les préliminaires nécessaires, quelques-unes des questions qui intéressent particulièrement aujourd'hui les analystes, et dont l'étude peut être utilement poursuivie.

Il suffira d'indiquer succinctement les principales subdivisions. L'étude des singularités des intégrales des équations différentielles ordinaires, qui trouve son origine dans le Mémoire classique de Briot et Bouquet, forme le sujet des premiers Chapitres. Cette partie importante de la Théorie a fait

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récemment l'objet de divers travaux sur lesquels je m'étends assez longuement, en donnant quelques applications.

Le brillant développement de la théorie des fonctions d'une variable complexe avait fait un peu trop laisser de côté l'examen du cas où tous les éléments figurant dans les équations différentielles sont réels. Sous l'influence des travaux de M. Poincaré sur les courbes définies par des équations différentielles, ces questions depuis quelques années ont été reprises. Je reviens d'abord sur mes recherches relatives à diverses méthodes d'approximations successives, en me bornant pour le moment aux équations différentielles ordinaires, et je passe ensuite aux travaux de M. Poincaré sur les solutions périodiques et asympto tiques. Dans le même ordre d'idées, les profondes recherches de l'éminent géomètre, sur la forme des courbes satisfaisant à une équation différentielle du premier ordre et du premier degré et, en particulier, sa belle théorie des cycles limites trouvent ici leur place.

Le reste du Volume est consacré à la théorie des équations différentielles linéaires; c'est un sujet qui a fait depuis trente ans l'objet d'un nombre considérable de travaux. Je dirai seulement ici un mot sur une digression qui pourra, au premier abord, étonner. Voulant étudier les analogies entre la théorie des équations différentielles linéaires et celle des équations algébriques, il m'a paru indispensable de reprendre les théories algébriques pour faciliter au lecteur la comparaison; c'est ainsi que j'ai consacré un long Chapitre à la théorie des substitutions et aux idées fondamentales introduites dans la Science par Galois. On pourra suivre ainsi, j'espère, avec la plus grande facilité, le parallélisme entre le groupe de Galois pour une équation algébrique et ce que j'ai appelé le groupe

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de transformations d'une équation différentielle linéaire, étude qui fait le principal objet du dernier Chapitre.

J'adresse encore à M. Simart mes affectueux remercîments pour les conseils qu'il m'a donnés en corrigeant les épreuves, et qui m'ont permis d'apporter d'heureuses modifications à ma rédaction primitive.