Considérons maintenant une équation linéaire

«o - — ~ -r- a, —, — — ^ -^. ..— a,ny = o,

que nous supposons intégrable par quadratures. Soit G son

(') S. Lie, Théorie der Transformationsgruppen, t. I, p. SSg.

groupe. L'adjonction d'un certain nombre de quadratures, qui se présentent d'abord dans le calcul de l'intégrale, peuvent ne pas réduire G, mais il arrivera nécessairement un moment où l'adjonction d'une quadrature réduira le groupe de l'équation; or, adjoindre une quadrature, c'est adjoindre une intégrale de l'équation

dr ' -cî^ = ^^

b appartenant ici au domaine primitif auquel on a adjoint les quadratures antérieures qui par hypothèse ne réduisaient pas le groupe. L'adjonction de /• diminuant le nombre/? des paramètres de G, le groupe se trouve ramené, d'après le théorème du § 39, à un groupe d'au moins p— i paramètres (à= i); le groupe réduit Gi aura donc ce nombre de paramètres. On continuera ainsi jusqu'à la réduction du groupe de l'équation à un groupe ne renlermant plus d'arbitraire, et alors l'équation sera intégrée. Wous aurons donc une suite de groupes

G, Gi , . . . , G^,

chaque groupe étant un sous-groupe invariant du précédent, la différence du nombre des paramètres de deux groupes consécutifs quelconques G,- et G/+, étant égale à l'unité, et le dernier groupe ne dépendant que d'un paramètre. Nous pouvons donc dire que, ù une équation linéaire est intégrable par quadratures, son groupe de transformations est intégrable.

42. La réciproque de ce théorème est exacte : nous allons montrer que si le groupe de transformations d'une équation linéaire est intégrable, cette équation sera intégrable par quadratures.

Il résulte d'abord du théorème du § 40, que l'on peut choisir les intégrales d'un système fondamental de telle sorte que les transformations finies du groupe soient de la forme

Yg = a2iJKi -+- a22j'2»

Y3 = «31JK1 H-«32jK2 H- «33^3,

m\yi -^ Ctm^.yi -i-. . .-f- a,nmy

Le groupe G de l'équation ne comprenant que des transformations de cette forme, il est visible que l'expression

dvi dx

reste invariable par les substitutions de G et est, par suite, exprimable rationnellement.

Nous aurons donc une première intégrale dont la dérivée logarithmique sera rationnelle. Faisant alors le changement de variable

dx ,

nous aurons une équation d'ordre m — ^ i, dont l'intégrale générale sera

dx \yj

En désignant par z^-, z-2. ■ • • , ^-m-i les intégrales de cette équation correspondant 'dy-i, • • • ^ ymy ^on groupe aura seulement des substitutions de la forme

Zi 2 "^ ^ 3 2 •^ I "'"' ^■2 2 -^2 ■>

^m-l = ^/n,2 ^l ~^ <^/«,3 -^a -^ • • • -h Clm,m ^m \ ■

Nous pouvons donc raisonner sur l'équation en z comme sur l'équation initiale. Nous aurons pour l'équation en z une intégrale dont la dérivée logarithmique sera rationnelle dans le nouveau domaine de rationalité, c'est-à-dire après l'adjonction dey, au domaine primitif. On continuera ainsi, de proche en proche, et l'on voit que l'on trouvera, par des quadratures successives, tous les éléments d'un système fondamental. Le théorème énoncé est donc établi, et nous avons la proposition suivante, due à M. Vessiot :

La condition nécessaire et suffisante pour cju une écj[uatLon linéaire soit intégrable par cjuadratures est que son groupe de transformations soit intégrable.

43. Il résulte immédiatement de là et des théorèmes généraux de M. Lie sur les groupes linéaires que l'équation générale d'ordre /?i, c'est-à-dire une équation linéaire dont le groupe est le groupe général à m- paramètres n'est pas intégrable par quadratures. M. Lie a, en effet, montré (*) que le groupe linéaire à m- paramètres admet un seul sous-groupe invariant d'ordre în- — I ; c'est le groupe pour lequel le déterminant de la substitution est égal à l'unité. De plus, ce dernier groupe n'admet aucun sous-groupe invariant. Il est clair alors que les conditions du paragraphe précédent ne sont pas remplies.

Nous n'insisterons pas davantage sur la théorie des groupes de transformations d'une équation différentielle linéaire. Nous pensons avoir suffisamment montré, dans cette Section et dans la précédente, l'intérêt de cette théorie, qui n'est que l'extension bien naturelle à une question d'Analyse des idées si fécondes introduites en Algèbre par Galois.

(') S. Lie, Théorie der TransformuLioiisgruppea, t. I, cliap. WVI.