V. — Études de quelques cas particuliers
28. Arrêtons-nous sur quelques exemples, et commençons par l'étude des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients rationnels. Le groupe d'une équation arbitraire est le groupe linéaire et homogène d'ordre quatre. Les cas particuliers correspondront aux groupes à un, deux ou ^/o/V paramètres, sans parler du cas où l'intégrale générale de l'équation serait algébrique, et que nous laisserons de côté.
Considérons d\ibord un groupe linéaire à un paramètre : supposons d'abord que les deux racines de l'équation caractéristique correspondant à la substitution infinitésimale sont distinctes : dans ces conditions, en effectuant une combinaison linéaire convenable, les équations définissant le groupe sont
et Ton a alors le groupe défini par les deux équations
Il sera algébrique si - est commcnsurable, et Ton a, par suite, le
grouj)e
m et n étant des entiers. Si une équation linéaire du second ordre, à coefficients rationnels, admet ce groupe comme groupe de transformations, on aura évidemment comme invariants du
groupe
dyj^ cjy,
dx d.r rr
■tr 1- -1'"
Il existera donc un système fondamental (yijjKa) pour lequel
ces trois expressions seront des fonctions rationnelles de x. Il en résulte, en particulier, que l'équation de Riccati, admettant comme intégrale*^, admet «^ewjc intégrales rationnelles; ces intégrales étant obtenues, ce qu'on peut toujours faire quand elles existent, on aura y, et y^ par des quadratures, et il n'y aura même en fait qu'une seule quadrature distincte, puisque la troisième des expressions ci-dessus doit être rationnelle.
Dans le cas particulier, où nous ne pourrions avoir la forme réduite qui précède, nous aurions, conformément à la théorie de la réduction des expressions linéaires, les deux équations suivantes, pour définir le groupe,
drx
dt -^ -^
et l'intégration de ces équations nous conduit au groupe
Y, ^ jKi^e^' + jKoC''^
Si a n'est pas nul, ce groupe ne sera pas algébrique; le seul cas qui nous intéresse est donc celui de a = o, qui donne le groupe
Puisque y, est une fonction invariante, y^ est une intégrale rationnelle. Un second invariant sera fourni par
dy\ dy:i
Cette expression sera donc une fonction rationnelle, et l'on obtiendra par suite 72 à l'aide d'une seule quadrature portant sur une fonction rationnelle. Telles spnt les circonstances extrêmement simples qui se présentent quand le groupe de l'équation est à un paramètre.
29. Passons au cas d'une équation linéaire du second ordre dont le groupe serait à deux paramètres. Il faut commencer par
énumérer les tvpes de groupes linéaires et homogènes à deux paramètres. Nous avons deux substitutions infinitésimales, réduisons l'une d'elles à sa forme canonique ; si aucune circonstance particulière ne se présente dans cette réduction, nous pouvons prendre, en nous reportant aux notations du § 7,
qui représente la première transformation infinitésimale, la seconde étant
Mais nous devons écrire que le crochet
(AiA,)
est une combinaison linéaire aA| (/") -\- |j.Ao(/). En calculant ce crochet, on trouve de suite
(6 - «) 3 r, 1;^ - (« - Jn^n j^'
On doit donc avoir identiquement
ib — a) ^y-i = ^(^Vi -+- ;^( V^i -^ ?J"2)> {a — b) Y^Ki = À^j'2 -T- ;^(7J'i -r- or-,),
A et ui désignant des constantes. Ces équations donnent
À rt -I- ;j.a = o, (6 — a j 3 = [jl^,
{a — b)^=\x\% Ib -i- <xo = o.
Puisque a — b^ o, il faut que [j ou que y soit nul ; mais ces deux hypothèses rentrent évidemment dans le même tvpe, en permutant entre elles les lettres j', ely-i', faisons donc p^ o, et nous aurons les deux expressions
qui définiront un groupe à deux paramètres si l'on a la relation,
résultant immédiatement des équations ci-dessus,
au — bo(. — o, et nous poserons
Pour obtenir le groupe, il faut, conformément à la théorie générale indiquée dans la première Section de ce Chapitre, considérer les deux équations
'^- ^ {lia-^ l-i^)yu (Il
et les intégrer en choisissant les constantes de manière que, pour / = o, on aitjK, =^y% JK2=J^Î- On trouve ainsi le groupe à deux ])aramètres entre (ji, JK2) et (jj, y"), les deux paramètres étant lit elly^' On obtient ainsi, en changeant seulement de paramètres, le groupe
T, et 7.2 étant les deux paramètres du groupe qui sera algébrique si s est rationnel. On voit que
dx
yi
sera un invariant du groupe, et, par suite, si une équation linéaire du second ordre admet le groupe précédent comme groupe de transformations, l'équation de Riccali donnant
dy dx
aura une intégrale rationnelle. Mais on peut trouver autrementjK, , car, en éliminant t, et cto entre les équations du groupe et les équations dérivées, on trouve un autre invariant
dyi dyi
^' ~d^ ~^'' Tz;
Pour le mettre sous forme entière, posons .s—- -; nous aurons alors l'invariant
Ifi <^(ki\''
•^* ~d^ ~^'''- Ht
Cette expression devra être une fonction rationnelle, et, par suite, le numérateur étant connu par une quadrature, on obtiendra y, par une extraction de racine.
Nous nous sommes placé, pour obtenir les équations du groupe, dans le cas général où, pour l'une au moins des deux substitutions infinitésimales, les deux racines de l'équation caractéristique correspondante étaient distinctes. Il n'y a aucune difficulté à examiner tous les cas particuliers possibles; nous laissons au lecteur le soin de faire cette discussion et de montrer que, dans tous les cas, r équation s'intégrera par quadratures, quand son groupe de transformations est à deux paramètres.
30. Si nous voulions maintenant passer aux groupes à trois paramètres, nous aurions à faire une assez longue énumération. Je ne m'y arrêterai pas, et je remarquerai seulement que l'on ne doit pas s'attendre à ce que le fait d'avoir un groupe de transformations à trois paramètres diminue toujours la difficulté de l'intégration d'une équation du second ordre. Il suffît, en effet, pour s'en rendre compte, de prendre l'équation linéaire
où p-ii^x) est une fonction rationnelle arbitraire de x. On voit de suite que le groupe de transformations de cette équation est un groupe à trois paramètres; on a, en effet,
<-/>'.) dv^
Le groupe de transformations sera donc le groupe à trois paramètres
Yi ^ay^-^byi,
avec la relation
ad — ^c = I,
55o CMAPITKl-: XVil.
et nous n'avons pas ici^ comme dans les cas précédents, une équalion intégrable par quadratures.
31. Pour faire une application d'une autre nalure, considérons une équation linéaire du troisième ordre
d^y cP'Y dy
à coefficients rationnels, dont tous les points singuliers sont réguliers, et supposons qu'entre trois solutions y^ , jKo? ys formant un système fondamental, il existe une relation algébrique
homogène et d'un degré nécessairement supérieur à l'unité (^), la courbe algébrique représentée par l'équation précédente en coordonnées homogènes étant irréductible. Envisageons le groupe G de l'équation (E). On peut évidemment supposer que le système fondamental JKt,y2?y3 correspond à une solution de l'équation en V désignée par / dans la théorie générale de la section précédente. Ceci posé, la fonction
ayant la valeur zéro est exprimable rationnellement, et, par suite, elle reste invariable par les substitutions du groupe G.
En désignant par ¥< , Yo, Y3 les expressions linéaires eny^ ,y2îJK3 correspondant au groupe de transformations de l'équation, on aura
F(V„ Y2,Y3) = o, puisque
Ces deux relations entre jki, y^^ y:] ne peuvent être distinctes, puisqu'il ne peut manifestement exister deux relations homogènes
(') Ce problème a été étudié par AI. Fuchs dans un Mémoire inséré au Tome I des Acta Mathematica {Ueber lineare homogène Differentialgleichungen, zwischen deren Integralen homogène Relation hoheven als ersten Grades bestehen). M. Fuchs ne se place pas au point de vue de la Théorie des groupes de transformations; on va voir combien celle-ci se présente naturellement dans cette question.
distinctes entre les intégrales d'un système fondamental dune équation du troisième ordre. La substitution faite correspond donc à une transformation de la courbe en elle-même.
Or, supposons d'abord que la courbe F soit de genre supérieur à un; elle ne pourra alors être transformée en elle-même que pour un nombre fini de transformations birationnelles (t. II, p. 436). Si donc on pose
'Il
l'équation de la courbe devenant
F(i, II, v) = o,
il résulte du théorème rappelé que les substitutions de G conduisent, pour u et V, à un groupe fini de substitutions linéaires fractionnaires. Or, le groupe de l'équation linéaire étant contenu dans son groupe de transformations (§ 24), le groupe des substitutions linéaires fractionnaires relatives aux diverses déterminations de u et p sera contenu dans le groupe G' des transformations linéaires fractionnaires, relatives à u et t', qui se déduisenl du groupe de transformations de l'équation. D'après ce que nous venons de dirC;, le groupe G' ne contient qu'un nombre fini de substitutions; donc u et v n'ont qu'un nombre limité de déterminations. Nous arrivons donc d'abord à la conclusion que les deux quotients
et ^
sont des fonctions algébriques de x, que nous désignerons par a et ç. Or on a
ri ^2 .n
dyi dvz djs
dx dx dx
d^Yi d^y.^ d=^y^
— Q-Sp,dx^
dx^ dx"*' dx^- I
On en conclut, en remplaçant /o etj-g par wr, et ty, , />, , /du d'^v di> d^ii\ . ,
552 CHAPITRE XYII.
et, par conséquent, yt s'exprime par une quadrature et 11 en est de même pour j^o ^^y-i' Si ^^^ racines des équations fondamentales déterminantes pour tous les points singuliers de E sont comme ns arables, l'exponentielle qui figure dans le second membre sera nécessairement une fonction algébrique, et l'intégrale générale de l'équation sera alors algébrique. Ainsi l'étude de la nature des intégrales de l'équation (E) est très facile quand le genre de la relation F est supérieur à l'unité.
Nous sommes dans des circonstances moins simples si le genre de la relation F ne dépasse pas l'unité. La courbe F(i, ^/, p) i= o doit être alors une courbe qui se transforme en elle-même pour un groupe de transformations projectiles. Or MM. Klein et Lie ont déterminé toutes ces courbes {Comptes rendus, ^^1^) et voici le résultat auquel ils sont parvenus; ces courbes, pour un choix convenable de coordonnées, se ramène à une des formes
ce — yy- = o, x = ey, A J7--f- Bj' = o.
Sans entrer dans le détail de cette recherche, il ne sera pas long d'en indiquer le principe. Le groupe projectif qui, par hypothèse, transforme la courbe en elle-même admettra au moins un sous-groupe à un paramètre; soient
dx f. , . dy , .
les équations définissant ce groupe F à un paramètre. Supposons que
soit l'équation d'une courbe que F transforme en elle-même. On aura nécessairement alors, pour tout point de la courbe,
ùx ^ ùy et, comme
Tx^-^Ty^y-'-'^
il en résulte que la courbe satisfait à l'équation différentielle
dx dy
La courbe cherchée sera donc une courbe intégrale de cette équation différentielle. On conçoit alors comment, après avoir fait la recherche de tous les groupes projectifs, on peut, par l'intégration d'une équation différentielle, arriver aux courbes cherchées. MM. Klein et Lie démontrent de plus que, pour les deux premiers types, en supposant que le premier ne se réduise pas à l'équation d'une conique, il n'y aura pas d'autre groupe projectif transformant la courbe en elle-même que le groupe à un paramètre
X =^ax, Y = hy (a = b'-^)
pour la première, et, pour la seconde, le groupe
Revenons maintenant à notre problème. En laissant d'abord de coté le cas de la conique, nous aurons pour relation entre u et r le seul type
m et ji étant des entiers, puisque le second type est transcendanî. Donc, pour l'équation linéaire E, en excluant les cas déjà étudiés et celui où la relation entre j-,, jko, ^3 serait du second degré, on peut admettre que cette relation a la forme
en posant toujours u = ^, v = ^. Le groupe relatif aux transformations de u et (^, déduit du groupe de transformations de l'équation E, sera nécessairement, s'il dépend d'un paramètre arbitraire, le a roui
U = au, \ = Ov On voit que l'expression
du fhn
est une fonction rationnelle de y,^ y,^ y.^ restant invariable par les substitutions du groupe de l'équation, et, par suite, u s'obtiendra par une quadrature, et v s'en déduira immédiatement. Il
554 CIIAPITHE XVII.
en résulte que u cL v seront de la forme
On aura ensuite y, par la formule ().), et y^ sera de même forme, ainsi quejK2 etys-
Supposons, en particulier, que les racines des équations fondamentales déterminantes soient commensurables pour tous les points singuliers deE; il est visible que y<, y 2, y^ seront alors algébriques, et nous retrouvons alors un théorème donné par M. Fuchs dans le Mémoire cité :
Si ta relation F est de degré supérieur à deux, V équation E s'intègre algébriquement.
3^. Jl reste à examiner le cas oii la relation F est du second degré. M. Fuchs démontre alors que l'équation E est l'équation donnant le carré de l'intégrale d'une équation linéaire du second ordre. Nous allons l'établir, en nous plaçant toujours au point de vue de la théorie des groupes de transformations.
On peut supposer que la relation quadratique a la forme
Le groupe de transformations de l'équation I Yi = afi -i- by^ -4- C73,
sera nécessairement un sous-groupe du groupe général à quatre paramètres, transformant en elle-même l'équation yi — jKiJ'2 = o. Posons alors
on en déduira
j3 = wc ;
nous avons donc
J3 = UV.
Soit de même,
Yi = u^
Y3 = UV
nous aurons alors
\ji = au- -\-bv- -^cuv,
V2 — a'îf2— b'v"--^ c'uv,
UV = a"u''--^ b"v'^-^ c"uv.
Or u et p élant fondions des deux quantités^, et j'o, ainsi que U et V, il est clair que U et V sont des fonctions de u et r, et ce sont les expressions de U et V en u et v que nous nous proposons précisément de trouver. Or, des trois dernières équations écrites, on peut conclure que U et V sont des fonctions linéaires de u et V. Les «, b, c sont, en effet, tels qu'on a, quels que soient u et t^, l'identité
iau"--^ ^p2 ^ cuv){a' u^ -^ b' v'^ -^ c' iiv) =(a" u^--i- b" v"- -^ c" uv Y .
11 en résulte, ou bien que les deux trinômes
au- -4- bv"- 4- cui\ a' a- — 6'p'--r- c' uv
ne diffèrent que par un facteur constant, ou bien que chacun d'eux est un carré parfait. La première hjpotlièse est inadmissible, car on aurait alors
et, par suite, le déterminant de la substitution (S) serait nul, ce qui est impossible, car les Y doivent être comme les y des intégrales formant un svstème fondamental. Il en résulte que nous sommes dans le second cas, et alors U et V sont des fonctions linéaires de u et r. Par suite l'équation linéaire du second ordre ayant pour intégrales
s/yu ^yî
sera à coefficients rationnels, puisque les coefficients de cette équation, mise sous la forme
seront des fonctions rationnelles de y<, y2t invariantes par les substitutions du groupe de l'équation (E). Nous arrivons donc à la conclusion que ï équation (E) est l'équation obtenue en posant
z étant rintégrale générale d'une équation (E') du second ordre: c'est le résultat oblenu d'une autre manière par M. Fuchs. On pourra aussi consulter sur ce sujet divers Mémoires de MM. Laguerre, Appell et Goursat («). Je montrerai seulement, pour terminer, comment on pourra reconnaître si une équation linéaire donnée
rentre dans la catégorie précédente. Si l'on pose
z étant l'intégrale générale de l'équation
dx^ dx
on aura, pour j^, diaprés ce que nous avons vu (§ 10), une équation du troisième ordre ; un calcul facile donne pour cette équation
d^y ..d\v / da\dy fdh \
d^'-'''d^^-v'"''''^d^)£-''\dj^--'''')^'-^'-
En identifiant cette équation avec celle qui a été écrite plus haut, on a
B =-«, 3G = ',a^ -M~ '^, D =.-- .2 Uab - f' V
dx \ dx)
L'élimination de a et h enlre ces trois équations donne l'équation de condition
qui exprime la condition cherchée.
(') Laguerre, Cow/>^e5 rendus, t. LXXXVIII, p. 124 et 21G; kvvELL, Annales de VÉcole Normale, 1881; Goursat, Bulletin de la Société mathématique,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 55j
VI. — Réduction du groupe de transformations d'une équation linéaire ; théorème de M. Vessiot sur les équations intégrables par quadratures.
33. On peut, relativement à la réduction du groupe de transformations d'une équation linéaire, développer une théorie analogue à celle qui a été étudiée daus la Section YI du Chapitre précédent; c'est l'objet de la thèse déjà citée de M. Vessiot. Ce sujet, pour être approfondi, demanderait sur les groupes de transformalions des éludes plus complètes que celles qui ont été faites plus haut; il appellerait d'ailleurs encore bien des recherches. Nous allons nous borner aux analogies les plus immédiates entre les deux théories en nous plaçant à un tout autre point de vue que M. Vessiot et en prenant toujours pour guides les idées de Galois sur la théorie des équations.
Nous considérons, pour uu domaine donné de rationalité, une équation linéaire ajant le groupe G comme groupe de transformations. Soit
'■?('■'•■- ''"'fz?''---)
une fonction rationnelle d'un système fondamental d'intégrales, dont les coefficients sont des fonctions de x appartenant au domaine de rationalité. Reprenons aussi l'équation
d'ordre p qui joue dans notre théorie le rôle essentiel. En remplaçant les y par leurs valeurs en fonction de V, on peut regarder c5 comme une fonction de V et de ses dérivées, et nous écrirons
f/V dp\
Si la fonction es est prise arbitrairement, elle dépend de p con~ stantes arbitraires, quand on prend pour V l'intégrale générale de l'équation /; la fonction o satisfera alors à une équation différentielle d'ordre/?. Mais il pourra arriver que, V étant toujours l'intégrale générale de/, la fonction cp ne dépende que de p' con-
stantes arbitraires {p' <p). Dans ce cas, o satisfera à une éqiia tion différentielle d'ordre /»',
d(p dp z)
dx dxP' ' '
les coefficients étant des fonctions de x appartenant au domaine de rationalité. On voit que celte équation est analogue à l'équation S(cp) = o considérée dans le Chapitre précédent au § 32.
Si l'on prend pour V une intégrale déterminée ç de f, la fonction cp est complètement déterminée. Quand on j remplace ç par la combinaison linéaire de ç et ses dérivées, qui donne l'intégrale générale de / (§ 20), on obtient par hypothèse une fonction dépendant, non de/>, mais seulement dep' arbitraires. Il en résulte que la fonction cp restera invariable pour les substitutions d'un groupe G' de transformations dépendant de p — p' arbitraires. Ce groupe G' dépendra, en général, de la solution choisie (^, mais il peut arriver que ce groupe ait un sous-groupe T ne dépendant pas de ç; alors ce sous-groupe T, dont nous désignerons par s le nombre des arbitraires, laisse invariables toutes les fonctions cp déduites de la fonction initiale par toutes les substitutions du groupe; on peut encore dire qu'il laisse invariables toutes les intégrales de S. Il est l'équivalent du groupe (H) qui, en Algèbre, laisse invariable les fonctions cp racines d'une équation S(cp) (§ 3i du Chapitre XVI).
34. Avant d'aller plus loin, cherchons quelle dépendance existe entre deux fonctions rationnelles des intégrales et de leurs dérivées restant invariables par les substitutions d'un même groupe G, contenu dans G et dépendant de q arbitraires; nous supposons que la fonction cp considérée ci-dessus reste invariable par les substitutions de G, et par ces substitutions seulement.
Quand on met à la place de V une intégrale déterminée ç de l'équation /, la fonction
'^ V ' dx' ' ' ' dxP ) '
envisagée plus haut (§ 33), représente une fonction déterminée de X, que nous désignons par cp, et elle reste invariable quand on met à la place de v une autre intégrale V dépendant de q constantes
arbitraires, cette intégrale correspondant précisément au groupe G, de transformations; ceci revient à dire que, les deux équations différentielles en V,' désignées par (/) et (a), ont une solution commune dépendant de q constantes arbitraires. On peut former, par des calculs d'élimination, l'équation différentielle d'ordre q donnant cette solution; elle sera de la forme
' dx dx'i ' ' dx
où nous avons mis en évidence cp et ses dérivées.
Soit maintenant c^, une seconde fonction rationnelle des intégrales restant invariable par les substitutions de G, ; nous pouvons exprimer les intégrales y,, ..., y« à l'aide d'une fonction V intégrale de l'équation R : cette fonction '^, prend alors la forme
/,, d\ d^\ do \
et elle doit rester invariable, quand on met à la place de V une
intégrale quelconque de l'équation R. Si cette dernière équa-
dqy lion est algébriquement irréductible par rapport à ~j-^ et que
X soit son degré par rapport à cette dérivée, on réduira dans y,, mis sous la forme d'un quotient de polynômes, le numérateur et le dénominateur à être seulement de degré A — i en
L— , en se servant de Téciuation R, et dans y, ainsi préparé, on
dxi \ , .
voit immédiatement, en raisonnant comme nous l'avons fait dans
l'établissement du second théorème fondamental (Section IV de ce Cliapitre), que V et ses dérivées doivent disparaître, et, par suite, (Di s'exprime rationnellement à l'aide de z), de ses dérivées et des quantités du domaine de rationalité.
Si R n'était pas algébriquement irréductible, le groupe G, serait complexe, mais cp, restant par hypothèse invariable pour le groupe G,, le raisonnement précédent est applicable à tous les groupes non complexes composant G,, et nous avons toujours la même conclusion qui rappelle entièrement le théorème de Lagrange étendu aux valeurs numériques des fonctions rationnelles des racines d'une équation : la fonction cp, s^ exprime rationnellement à Vaide de o et de ses dérivées.
p. — III. 37.
35. Nous arrivons maintenant à la réduction du groupe d'une équation. Adjoignons au domaine primitif l'intégrale générale co de l'équation S considérée plus haut, qui reste invariable par les substitutions du groupe rdu§ 33. Nous aUonsélahVir que l'adjonction de o réduira àT le groupe de V équation donnée^ proposition toute semblable à celle qui a été établie au § 33 du Chapitre précédent. Eu effet, après l'adjonction de cp, le groupe de l'équation ne peut contenir que des substitutions du groupe initial G n'altérant pas cp ; donc le groupe ne peut être que F ou un groupe contenu dans r. Mais il est facile de voir que toutes les substitutions de F feront partie du groupe cherché, car toute fonction des intégrales exprimable rationnellement, après l'adjonction de cp, s'exprimera rationnellement à l'aide de o et de ses dérivées; elle restera donc invariable par toutes les Substitutions de F. Inversement, toutes les fonctions des inté<;rales, invariables par les substitutions de F, s'expriment rationnellement à l'aide de cp et de ses dérivées, d'après le théorème du paragraphe précédent. Le groupe de l'équation, après l'adjonction de cp, est donc bien le groupe F.
36. On peut étendre à un sous-groupe F, contenu dans un groupe G de transformations, la notion de sous-groupe invariant si important dans la théorie algébrique; il n'y a rien à changer à la définition. Montrons que le groupe F, auquel nous venons de réduire le groupe de l'équation, est invariant dans le groupe initial G. Nous avons
dv di> v\
dx dxi> J
et cette fonction ne change pas quand on remplace v par une combinaison linéaire de p et de ses dérivées répondant précisément au groupe F. Soit h une substitution de F, et s une substitution quelconque de G; la substitution s transforme les y en des Y, et, par suite, v en une certaine intégrale V de/". La fonction cp devient <ï>, et l'on a
/.^ ^V dP\\
'^ = y^[^'dx""'d^)'
Cette fonction ^, considérée comme fonction des Y, reste in-
variable quand on effectue sur ceux-ci la substitution Ji^ ce qui revient à remplacer V par la combinaison linéaire de V et de ses dérivées dont nous avons parlé plus haut. Si, enfin, on remplace les Y par lesjK, c'est-à-dire si Ton effectue la substitution 5~*, on retombe sur la fonction cp; par suite, la substitution
s-^hs
transforme la fonction cp en elle-même. Donc cette substitution appartient à T. Ainsi la transformée de h par une substitution quelconque 5~' de G appartient à F : c'est dire que ce dernier groupe est invariant dans G.
37. On voit que l'on est conduit par les théorèmes précédents à décomposer, s'il est possible, G de manière à avoir une suite de groupes algébriques linéaires et homogènes
G, Gi, .,., G;f,
tels que chacun d'eux soit un sous-groupe invariant du précédent, le dernier groupe G^ n'ayant pas de sous-groupe invariant dépendant de paramètres arbitraires. Par l'adjonction successive des intégrales d'équations S, nous ramènerons, à ne plus avoir d'arbitraires, le groupe de l'équation qui sera alors intégrée. Déjà M. Lie, dans la théorie générale des groupes, avait été conduit à envisager, pour un groupe de transformations quelconque, une suite analogue à la précédente, où chaque groupe est un sousgroupe invariant du précédent. On peut même supposer de plus que chaque groupe est un sous-groupe invariant maximum du précédent, c'est-à-dire que, étant considérés par exemple G et G,, il n'existe pas de sous-groupe invariant de G, dépendant d'un plus grand nombre de paramètres que G<, et contenant Gi. L'établissement d'une telle suite constitue ce que M. Lie a appelé une décomposition normale du groupe G en une série de sous-groupes, et l'on peut établir à ce sujet un théorème qui rappelle celui de M. Jordan. Mais nous n'insisterons pas sur tous ces points qui nous entraîneraient trop avant dans la théorie des groupes de transformations. Nous allons étudier seulement le cas où l'on adjoindrait les intégrales d'une équation différentielle auxiliaire, étude analogue à celle qui a été faite au § 36du Chapitre précédent.
38. Supposons que nous adjoignions au domaine primitif de rationalité l'intégrale générale r de l'équation
que nous désignerons par F(r)= o. Nous supposons que l'équation n'a de solution commune avec aucune équation algébrique d'ordre moindre; les coefficients de P, qui est rationnel par rapport à 7' et ses dérivées, appartiennent au domaine de rationalité. Si l'adjonction de r réduit le groupe, l'équation
aura une intégrale, correspondant à un système fondamental, commune avec une équation différentielle d'ordre moindre, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités du domaine primitif, de /• et ses dérivées. Soit/i l'équation d'ordre minimum jouissant de cette propriété; l'équalion
^ A, dV dP'Y dr d^^-^rX , ,
joue, dans le nouveau domaine de rationalité, le rôle que jouait/* dans le domaine primitif. I^e groupe de transformations de l'équation, après l'adjonction de r, dépend de p' paramètres. Nous allons établir, au sujet de ce nombre, une inégalité très importante. Je dis que
Supposons, en effet, p' z= p ^\ — p ; différentions )vfois Féquationy^. Nous aurons ainsi X -\- i équations entre
dW dP-py dr d>^-i
dx dxP-9 ' dx 6/xA-i
Nous pouvons entre ces équations éliminer r et ses A — i dérivées, et nous avirons ainsi une relation de la forme
'^y^dx-'-'d^^'' ^p->)'
où les coefficients appartiennent au domaine initial de rationalité.
L'expression V, correspondant à un système fondamental, satisferait donc à une équation d'ordre moindre que /?, ce qui est impossible. Cette équation ne se réduira pas à une identité, car chaque équation contient une dérivée de V ne fij;urant pas dans les précédentes.
L'inée^alité
est donc établie et nous pouvons, par suite, dire (\\x'après V adjonction de r, le groupe de l'équation contient au moins p — \ paramètres. Nous désignerons par G le groupe initial, et par T le groupe après l'adjonction de /••
11 importe d'approfondir davantage la nature de ce groupe T. Pour une intégrale r de F(/') = o, nous avons une équation/, déterminée, et l'intégrale générale de cette équation s'obtient linéairement à l'aide d'une intégrale particulière et de ses dérivées, les coefficients qui appartiennent au domaine primitif dépendant de /?' arbitraires. Je dis que, si l'on met à la place de r une autre intégrale R de F, l'intégrale générale de la nouvelle équation /, s'exprimera de la même manière au moven d'une intégrale particulière et de ses dérivées. Désignons par
l'expression de l'intégrale de/,, correspondant à /• ; les deux équations
dy
dx' "
dp'\
' ' dxP' '
dr
dd
dx' '
sont deux équations eu V, et toutes les solutions de la première appartiennent à la seconde; ceci entraîne des relations entre /■ et ses dérivées, qu'on peut ramener à l'ordre a — i au plus. Ces équations de condition doivent être des identités, d'après l'hypothèse faite sur l'irréductibilité de F, et Ton en conclut de suite le résultat annoncé. On remarquera encore que l'on passe de l'équation/,, correspondant à r, à l'équation /,, qui correspond à R, en remplaçant V par une combinaison linéaire convenable de V et de ses dérivées.
39. L'intégrale générale de/, appartient à/; pour une intégrale /• de F, l'équation /, en V a son intégrale générale dépendant de /?' constantes arbitraires; en faisant varier /', on doit obtenir toutes les intégrales de/, car si l'intégrale générale de / dépendait de moins de p constantes {y compris les constantes figurant dans /•), on formerait par des calculs algébriques l'équation d'ordre inférieur à/? dont dépendrait cette fonction, et cette équation aurait ses coefficients appartenant au domaine initial de rationalité. Le nombre p ne pourrait pas alors correspondre au groupe de l'équation pour ce domaine.
Nous pouvons maintenant démontrer que T est un sous-groupe invariant de G. Soit une intégrale v correspondant à une équation/ dans laquelle on a mis une certaine intégrale /• de F; il correspond à v des intégrales j, ,jKo, . • . , ./« de l'équation proposée. Effectuons sur les y une substitution quelconque s du groupe G; lesjK deviennent des Y auxquels correspond une fonction V. Celle-ci est une intégrale d'une équation/ dans laquelle /• a été remplacée par R. En effectuant sur les Y une substitution h de F, on remplace V par une autre intégrale V de la même équation, d'après ce que nous avons dit plus baut ; enfin la substitution 5~* nous ramène de V à une intégrale v^ de l'équation initiale/ relative à /*. La conclusion est que la substitution
transformée de h par s~^ , appartient au groupe F, puisqu'elle est la substitution correspondant au passage de v à v' ; donc V est invariant dans G.
11 est inutile d'insister sur l'analogie des tliéorèmes précédents avec les propositions établies au § 36 du Cbapitre précédent.
40. Nous allons appliquer, avec M. Vessiot, le tbéorème précédent à la recbercbe des équations linéaires intégrables par quadratures; c'est un problème que l'on peut regarder comme l'analogue du problème de Galois, relatif aux équations résolubles par radicaux. Mais il nous faut auparavant revenir un instant sur la théorie générale des groupes de transformations pour définir une classe particulière de groupes étudiés par M. Lie. Un groupe de transformations est dit intégrablc s'il contient un sous-groupe
invariant ayant un païamèlie de moins que lui, celui-ci de même et ainsi de suite. Nous aurons donc une suile
chaque groupe étant un sous-groupe invariant du précédent ei ayant un paramètre de moins que lui, et le dernier groupe étant à un seul paramètre.
M. Lie a donné la condition nécessaire et suffisanle pour qu'un groupe d'ordre r soit un groupe intégrable. Cette condition est la suivante : on pourra prendre les /• transformations infinitésimales du groupe, que nous désignons comme précédemment par
<le telle sorte que tout crochet
qui doit être une combinaison linéaire des X, soit seulement une combinaison linéaire de
11 s'agit ici de groupes de transformations quelconques. Si l'on considère des groupes linéaires et homogènes, M. Lie (') a démontré que, le groupe étant supposé intégrable, on peut choisir les variables de manière que toutes les transformations infinitésimales du groupe soient de la forme
i, ne dépendant que de .r,, Ç^ que de x^ et ^o, - ■•> et, d'une manière générale, li de .r< , ;ro, . . . , ^/, toutes les lettres ? représentant d'ailleurs des fonctions linéaires et homogènes."
