TOME III

I. — Intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles dans le voisinage d'un système de valeurs singulières.

i. On peut, comme nous l'avons vu précédemment (t. II, p. 3i6), rattacher la recherche des intégrales d'un svstème d'équations différentielles ordinaires à l'étude d'une équation linéaire aux dérivées partielles. Reprenons l'équation

^df df ^ df

^y. 3— -r -.Vj -T r- . . . -r- ^\n t

ox ôxi dXfi

où X, X, , . . . , X/i sont fonctions des n + i variables ^, ^« , . . • » Xfi' Nous avons démontré que, si les coefficients de cette équation sont holomorphes dans le voisinage de x^^ x% . . . , œ^,^ el si

n'est pas nul, il existe une fonction /(^, ^,, x-^-, P. — III.

, x„) satisfai-

sant à l'équation (i), holomorphe dans le voisinage de x^, ^J, ..., ^J), et se réduisant pour x = Xq k une fonction donnée à l'avance

elle-même holomorphe dans le voisinage de x*^^, ^J, . . - , ^" .

Nous avons déduit ce théorème (voir t. Il, p. 3i8) d'une proposition plus générale. Si l'on a seulement en vue le théorème lui-même, on peut, tout en restant dans le même ordre d'idées, le démontrer plus rapidement comme il suit. Ecrivons l'équation sous la forme

^ ^ ôx ^ dxi ' ^ dX'i ' ' ' " dx,i

Soit, pour abréger,

et soit, de plus, la fonction cp nulle pour ^, = . . . = ^/^ = o, ce qui revient à remplacer/pary* augmentée d'une constante convenable.

Si la fonction satisfaisant aux conditions de l'énoncé existe, on pourra, à l'aide de l'équation (E), effectuer son développement suivant les puissances de ^, ^,, . . ., Xn- On aura, en effet, les valeurs de toutes les dérivées partielles de /pour

X = Xi = . . .= Xa=0\

c'est d'ailleurs ce que nous avons déjà dit (t. II, p. 3 19). Il faut montrer que le développement ainsi obtenu est convergent tant que les modules des x sont suffisamment petits.

La démonstration de la convergence va encore résulter d'une comparaison avec un système convenable. Soit M le module maximum des X quand x reste dans son plan à l'intérieur d'un cercle de rayon a ayant l'origine pour centre, et que ^1, Xo, ... -, ocn. restent respectivement dans leur plan à l'intérieur d'un cercle de rayon b. Nous pouvons prendre comme fonction de comparaison

/ x\ l iPi + .r2 H- . . . + ar,i \

Nous aurons alors à considérer l'équation

dV M

dx ( x\ 1 .ri — . . .— .T/j V \àx^ dx

et nous prendrons comme valeur initiale de U pour x^o

en désignant par N le modale maximum de cp. Or l'existence de la fonction U se démontre immédiatement. On peut présumer de suite qu'elle se réduira à une fonction de x et de ^, en posant

z = Xi^ x^^ . . .-V- Xn.

On a donc à étudier l'équation

dx I X \ ( z\ dz

et l'intégration de cette dernière équation est immédiate. On peut, si l'on veut, la ramener à une équation à coefficients constants, en faisant sur x et sur z les changements de variable indiqués par les relations

^':= o, ^'= o correspondant à jt = o, ^ = o. On a alors l'équation

— -, = /i M T— , , dx dz

dont l'intégrale est visiblement

U = 'o{z'-{-nMx').

L'intégrale qui nous intéresse s'obtiendra donc immédiatement.

2. Nous allons maintenant étudier le cas où le théorème général qui précède ne trouverait pas son application. Prenons l'équa-

lion à n variables indépendantes

où Xi, Xo, ..., X/i sont des fonctions des n variables ^<, ^25 • • «7 ^/i- Si les X, holomorphes par hypothèse dans le voisinage de ^1 = ^2 = • • • = ^n = o? s'annulent tous pour ces valeurs des variables indépendantes, le théorème précédent ne nous apprend rien sur l'existence des intégrales de l'équation (2) dans le voisinage des valeurs zéro des variables.

Nous remarquerons d'abord qu'on peut, en général, supposer que les termes du premier degré dans les développements des coefficients X,, . . ., X/^ se réduisent respectivement à

Soient, en effet,

Xi = «11 a7i+ «12 ■2^2 + - • • -+- <^i« ^// + - • • ,

X/i — Cl,i 1 CCi -h a, 12 372 H- ... -r- ^nn ^n + • • • •

Faisons le changement de variables linéaire

j^i = an a?! 4- «12 .272 -h . • . -t- ai„ a?/, ,

JK2 = «21 ^1 -t- «22 3^2 + . . . -f- ^inOCii, . • . ,

yn= «rti^lH- art2^2 + -- -H- ^aii^n-

Pour que, dans l'équation transformée en j^, les termes du premier degré, dans les coefficients de