Définition mathématique du potentiel électrique en un

point. — On ne peut définir tout d'abord le potentiel d'un conducteur électrisé, le seul dont il ait été question jusqu'ici. On commence par définir le potentiel d'un point (ou en un point) où l'on suppose concentrée l'unité d'électricité positive.

Le cas le plus simple est celui d'un point M qui se trouve dans un champ électrique réduit lui-même à une masse électrique q concentrée en un autre /**

point A. Soit r la distance du point M au X m

point A. *s'

On appelle potentiel du point M le rapport, ^''

-» de la masse agissante à sa distance au A

r & Fig. 862.

point M (fig. 862). Ce rapport est donc une

fonction très simple de la distance r ; il a le signe de q. On le désigne ordinairement par la lettre V, et l'on écrit

V étant positif ou négatif suivant que la masse électrique agissante est positive ou négative.

914. Propriétés du potentiel. — Cette fonction possède les propriétés suivantes :

I. Si Con prend le rapport ( — ) de V accroissement AV de la fonction V à

V accroissement (Ar) de la variable r, et -^ u

qu'on fasse tendis Ar vers zéro, le rap- ---'m'

port — ■ tend vers une limite, qui, prise __,.---""" M

en signe contraire, représente en grandeur A

et en signe la force électrique en ce point. Fig. 863.

En effet, si la charge q est positive, elle exerce en M (fig. 865), sur une masse positive égale à 1, une force répulsive

représentée par F = -7*» F étant positif.

Orle potentiel en Mest positif et égal à -i si l'on donueà r l'accroissement AV

le potentiel devient - — = V -t- AV et l'on a

r-t- Ar

A?- Ar \r-*- A?- r) r* ■

AV 1 / ~ q

- r Ar

En faisant tendre Ar vers zéro, le dénominateur tend vers r2 et Ton a

lim. — = — -ri

d'où

Y,im.A-!)=4 = F.

Remarque. — On arriverait au même résultat en considérant une masse q d'électricité négative i.

II. Le système des points A et M étant rapporté à trois axes rectangulaires,

Ox, Oy, Os (fig. 864), le point M sera défini par trois coordonnées x, y, z et le / / point A par trois autres coordonnées x^,

1/ ^ //,, zt, et la distance r de ces deux points

A --""^m" sera ^onn^e Par ^a formule connue

r = V(x-j:/ + (2/- yj» ■+- {z - zx)\

Par conséquent, le potentiel V du point M, qui est une fonction de r, sera nécessairement une fonction des trois coordonnées x, y, z. Si l'on donne à r un accroissement Ar, les coordonnées prendront des accroissements correspondants Ax, Az/, A*. De même qu'on a considéré le

AV rapport — > on pourra considérer l'un des

Fig. 86i.

rapports