AV AV
ou — » ou De même
Mj A3
qu'on a calculé la limite du rapport -— quand on fait tendre A?- vers zéro, on
 AV AV AV pourra calculer de même les limites correspondantes des rapports — » ~» —
Cela posé, si l'on veut obtenir la composante de la force électrique qui
s'exerce en M, suivant l'une quelconque des directions Ox, Oy, Oz, on n'aura
qu'à appliquer la propriété suivante du potentiel :
AV La limite du rapport — > prise en signe contraire, représente en grandeur
et en signe la composante de la force électrique suivant la direction Ox. On aura donc
Fx = — lim
On aurait de même
F« = — lim .
AV Ly
F; = — lim. ■— »
àz
en appelant F*, Fy, ¥z les composantes de la force F suivant les directions Ox, Oy ,02.
1. La limite du rapport ~ est ce qu'on appelle la dérivée de la fonction V
par rapport à la variable r. Il est inutile d'introduire ce mot nouveau, qui n'est pas clans le programme de la classe des mathématiques élémentaires; mais il est permis de recourir à la notion de limite, dont on a déjà fait usage, en Mécanique, à propos de la vitesse dans un mouvement varié, à l'instant t.
On a vu, en effet, en Mécanique (49) que la composante de la force électrique suivant une direction quelconque Oxest en général
elle devient
lorsque F= -^« Or, si l'on calcule, par le procédé indiqué précédemment (914, 1),
AV la limite du rapport — > on trouv Ax
m lim.^=q(*-*i>.
Ax r3
En comparant les équations [1] et [2], on a donc
Fx = — hm. C.Q.F.D.
Ax
On aurait de même
n q(v — Vx) ,- AV <7(3 2) AV
F»= iV/ . -M = — Iim et F-— M w = — lim
r A?/ r As
Hemakque. — Le potentiel permet donc de trouver, non seulement la valeur de la force électrique au point considéré, mais encore les composantes de cette force suivant une direction quelconque.
III. Le travail effectué par la force électrique pour déplacer l'unité d'électricité positive entre deux points M et W du champ est représenté par la variation {prise en signe contraire) du potentiel entre ces deux points.
On a donc
Par définition, le potentiel en un point est essentiellement variable, de même que la force électrique, avec la position de ce point dans le champ électrique. Ainsi en un point M' (fig. 8f>o) le potentiel est devenu V (V étant plus grand
ou plus petit que V) et la force est devenue F' (F' étant égal à — ( lim. — : ] •
Si l'on imagine que l'unité de masse positive se déplace dans le champ, de M en M', sous l'action de la force électrique (fig. 863), celle-ci exécute un travail qu'il est facile d'évaluer. Il suffit d'appliquer la définition relative au travail d'une force variable en grandeur et en direction, qui serait de la forme
f=-j* En appelant r et r' les distances des points M et M', on trouve par le
calcul
Or on a
V = ^ et Y' = -/; donc C = — (V — V). c. q. f. d.
915. Signification mécanique du potentiel. — On peut déduire de cette dernière propriété la signification mécanique du potentiel en un point.
En effet, si le point M', au lieu d'être un point voisin de M, s'éloignait jusqu'à l'infini, on aurait r' = oo et par suite V = 0, puisque V est toujours
égal à -7* En appelant T le travail correspondant, on a, d'après l'équation précédente, T = V. On peut donc dire que le potentiel en un point est égal au travail qu'effectuerait la force électrique en ce point pour repousser V unité d'électricité positive, depuis M jusqu'à l'infini.
Ce travail serait évidemment le même si la force attirait l'unité de masse positive depuis l'infini jusqu'au point considéré.
Remarque. — On pourrait prendre cette propriété du potentiel pour définition : on en déduirait alors, comme propriété, la formule Y = ± -•
916. Potentiel d'un point par rapport à un système quelconque
de masses électriques. — Nous avons examiné jusqu'ici le cas où le champ électrique est constitué par une seule masse électrique agissante ; de ce cas simple on passe naturellement à celui d'un champ électrique constitué par un nombre quelconque de masses électriques agissantes. Ces masses peuvent être distinctes, ou bien réunies en un conducteur unique électrisé. La définition du potentiel est la même : il est égal à la somme
des quotients -> -^, —••> qui correspondent à chacune des masses agissantes sur le point M. On a donc
V = î+< + g + ...=±ït
Chacun des termes de celte somme est positif ou négatif, suivant la nature de l'électricité concentrée au point correspondant, et le potentiel est la somme algébrique de ces quotients1.
Les propriétés du potentiel sont exactement les mêmes dans le cas d'un système de masses électriques que dans le cas d'une seule masse agissante.
La force électrique en M est la résultante des forces concourantes qui proviennent des diverses masses (fig. 865).
Les composantes X, Y, Z de la force électrique suivant les trois axes sont encore
F, = -lim.^, *, = lim.£. F, = -Um.H.
bx J au A*
AV Car la limite du rapport — est égale à la somme des limites des accroisser àx
ments des fonctions partielles - qui composent la fonction totale V ou 2~»
or la première de ces limites partielles représente la projection sur l'axe des Ox
1. Dans le cas où les masses électriques sont distinctes, on obtient le potentiel en faisant une simple somme algébrique. Dans le cas où le fluide occupe une surface continue, de forme géométrique définie, on calcule le potentiel à l'aide des procédés du Calcul intégral.
de la force électrique correspondante, et Fx est précisément la somme de ces projections. Il en est de même pour Y y et pour Fz.
Fig. 865.
917. Exemples. — Potentiel d'un point par rapport à une couche sphérique en équilibre. — Nous savons qu'une couche sphérique en équilibre est nécessairement homogène, c'est-à-dire de même épaisseur en tous ses points. Il y a deux cas à considérer.
1° Point extérieur, situé à une distance x du centre. — On sait (905, II) que l'action est la même que si toute la couche électrique était concentrée au
centre de la sphère. Donc la force est F = -p en appelant Q la masse totale.
On a donc
F=lim.f=o,
kx x~
Pour trouver V, il faut calculer la fonction qui a pour limite du rapport de son accroissement à l'accroissement de sa variable, la quantité -• On trouve
-• Donc le potentiel d'un point M extérieur à une couche électrique sphérique
en équilibre par rapport à cette couche est -•
2° Point intérieur à la sphère. — On sait que dans ce cas l'action de la couche est nulle (903, I). On a donc F = 0 : on en conclut que — flim. — J
est une constante.
Pour déterminer cette constante, on peut choisir un point intérieur quelconque. Prenons le centre. On a, pour ce point, en appelant R le rayon de la sphère,
918. Surfaces équipotentielles ou Surfaces de niveau. — Étant donné un conducteur électrisé d'une certaine forme C (fig-. 866), les divers points de l'espace ambiant n'ont pas le même potentiel par rapport à ce conducteur; mais on peut supposer l'espace partagé en surfaces géométriques sur lesquelles le potentiel a la même valeur en tous les points : chacune de ces surfaces est
GANOT. 71
appelée surface équipotentielle ou surface de niveau, par rapport au système électrique donné; la valeur du potentiel ne varie que lorsqu'on passe d'une surface équipotentielle à une autre.
Par exemple, si le conducteur électrisé se réduit à un point, les surfaces de niveau sont des sphères concentriques à ce point. Propriété des surfaces équipotentielles. — La force électrique exercée par un système électrique C (fig. 866) en chaque point de Vespace est normale à la surface équipotentielle de ce point.
En effet, si l'on cherche la composante de cette force suivant la direction Ox d'une tangente quelconque à la surface, on a, d'après un théorème précédemment démontré,
Fx
= ~ (lim
en désignant par A.r l'accroissement de distance parallèlement à la tangente et par AV l'accroissement de potentiel correspondant. Or la tangente à la surface au point M tend à se confondre avec la surface Fig. S6P>. elle-même : par suite, l'accroissement de
potentiel suivant la tangente tend à se confondre avec l'accroissement de potentiel suivant une ligne de la surface Mais, par définition, tout accroissement de potentiel suivant une ligne quelconque de la surface est nul, puisque la surface est équipotentielle. On a donc
