AV^O

rt

lim.£ = 0,

et par suite F., = 0.

v+dv-V')

11 en serait de même de toute autre composante de la force suivant une

direction quelconque qui serait tangente à la surface au point M : donc la force est perpendiculaire sur toutes ry'-H^V'— v") les tangentes autour du point considéré et, par suite, normale à la surface.

919. Lignes de force. — Imaginons une série de surfaces de niveau infiniment voisines. En un point M de la première (lig. 867), la force est dirigée suivant la normale. Celle-ci coupe la seconde surface en un point M'; en ce point la direction de la force est encore normale, et ainsi de suite. La série de ces éléments infiniment petits de normale forme une courbe : c'est ce qu'on appelle une ligne de force.

Elle est définie par cette propriété qu'en chacun de ses points la force électrique est tan g en le à la courbe.

l'espace il passe une ligne de force, ainsi qu'une

En chaque point de surface équipotentielle.

Étant donné un système quelconque de masses électriques, leurs actions attractives ou répulsives ne s'exercent pas à des distances infinies, dans l'espace ambiant. A une certaine distance, variable avec la quantité d'électricité, ces actions deviennent négligeables. Nous avons défini champ électrique la portion de l'espace ambiant où ces actions sont encore sensibles. C'est seulement clans le champ électrique d'un conducteur électrisé qu'il y a lieu de considérer les surfaces équipolentielles et les lignes de force.

9*20. Potentiel des conducteurs électrîsés. — Lorsqu'un conducteur électrisé est isolé dans l'espace, c'est-à-dire que les corps environnants sont assez éloignés pour ne pas l'influencer, son potentiel dépend uniquement de la charge électrique répandue sur sa propre surface. Or nous démontrerons plus loin (924) que lorsque la charge est en équilibre, son potentiel est le même pour tous ses points : celui de l'un quelconque d'entre eux est ce qu'on appelle le potentiel du conducteur.

Par exemple, pour une sphère métallique électrisée, on aura le potentiel en calculant la fonction pour le centre. Si R est le rayon, on a

Q étant la charge totale de la sphère.

Remarque. — On voit qu'une sphère de rayon 1 qui aurait une charge égale à l'unité, aurait un potentiel égal à l'unité.

921. Potentiel de la terre. — On peut considérer la terre comme un conducteur de dimensions infinies, et si on la suppose dans un état d'équilibre électrique, son potentiel doit èlre constant en tous

ses points. En calculant celui de son centre, on aY = 2-« On

peut admettre que dans chaque terme le numérateur est négligeable par rapport au dénominateur et que la fraction est nulle. On a donc V = 0.

L'expérience confirme ce calcul, car tout conducteur électrisé, positif ou négatif, étant mis en communication avec la terre, repasse immédiatement à l'état neutre; son potentiel devient donc nul, et, d'après la théorie, il doit être, à ce moment, égal à celui du sol.

922. Condition d'équilibre électrique sur un conducteur. — L'équilibre ne peut exister sur un conducteur électrisé que si tous ses points ont le même potentiel.

En effet, soient deux points M, M' dans un champ électrique. Supposons qu'ils fassent partie d'un même conducteur et qu'ils aient des potentiels différents V et V. On sait que le travail développé par la force électrique pour transporter l'unité d'électricité positive de M en M' est égal à — (V — V). Donc, en appe-

lant F la force, supposée constante, qui s'exerce entre ces deux points, on a

Si V — V est > 0, la force est positive, et par suite répulsive et dirigée de M vers M', c'est-à-dire dans le sens du potentiel décroissant. C'est le contraire si

V — V est < 0, c'est-à-dire si le potentiel va en croissant, au lieu d'aller en décroissant, de M vers M'. Dans les deux cas, il doit se produire un mouvement d'électricité de M vers M' ou inversement. Il ne peut y avoir équilibre que si

V — V = 0. c'est-à-dire Y = V.

Conséquence. — La surface d'un conducteur électrisé en équilibre est ellemême une surface de niveau.

923. Expression de la densité en un point d'un conducteur électrisé en équilibre. — La couche électrique homogène qui recouvre un conducteur en équilibre, forme donc une surface de niveau. Mais si la composante tangentielle de la force électrique est nulle pour un point quelconque de la couche, la composante normale a une valeur bien déterminée en chaque point, car c'est la force électrique elle-même. L'électricité, répandue à la surface d'un conducteur, en est donc repoussée normalement en chaque point ; et elle n'est maintenue à la surface que par la résistance du milieu ambiant.

Cas d'une sphère. — La couche d'électricité est homogène ; et, si l'on appelle * la densité, R le rayon de la sphère, Q la charge, on a d'une part

[1] F = ^2 et () = i,K% [2|

d'où l'on déduit [31 P = 4ic? et P=~F. $ bis]

Cas d'un conducteur quelconque. — La formule [5] est générale et s'applique à un conducteur de forme quelconque. Dans le cas général, la force F en un point peut s'exprimer en fonction de la variation du potentiel. Soit V la valeur du potentiel sur une surface de niveau infiniment voisine de celle du conducteur, et soit e la portion de normale comprise entre les deux surfaces. On a, comme on l'a vu précédemment,

e En portant cette valeur dans l'équation [5 bis], il vient

924. Principe des conducteurs électrisés communicants, — Ce principe est une conséquence directe de la condition d'équilibre d'une couche électrique sur un conducteur.

Sur deux conducteurs électrisés, mis en communication à Vaide d'un fil métallique, V équilibre ne 'peut exister que lorsque le potentie est devenu le même partout.

En effet, ces deux conducteurs n'en forment plus qu'un seul auquel s'applique la condition générale d'équilibre électrique.

Lorsqu'on mettra en communication deux conducteurs de po-

tentiels* inégaux, il se fera nécessairement un mouvement de fluide de l'un vers l'autre. Tout se passera comme si le conducteur de potentiel le plus élevé envoyait de l'électricité au conducteur de potentiel le moins élevé, jusqu'à ce que l'égalisation soit faite. Cette propriété se vérifie par l'expérience et c'est par elle que nous avons défini précédemment le potentiel.

925. Capacité électrique. — Le potentiel d'un conducteur élecli'isé en équilibre est proportionnel à sa charge électrique totale.

En effet, on a par définition V = Z -- Par conséquent, le potentiel est une somme de fractions dont chacune a pour numérateur la masse de chacun des points du conducteur. Si chacune de ces

masses devient double, triple, quadruple, etc., chaque terme -

de la somme sera multiplié dans le même rapport, et il en sera de même de leur somme.

On peut donc poser l'équation

^=nC, ou bien Q = CV,

où Q représente la charge totale du conducteur, V son potentiel et C une constante qui dépend à la fois du conducteur et du champ électrique où il se trouve. Cette constante C s'appelle la capacité électrique du conducteur.

D'après l'équation qui définit la capacité, on voit qu'elle représente la quantité d'électricité dont il faut charger le conducteur pour lui donner un potentiel égal à 1 .

Remarque. — Lorsqu'on met un conducteur en communication avec une source de potentiel constant Y, il prend une charge Q complètement déterminée par sa capacité électrique C. De même, lorsqu'on met un certain poids d'une substance en communication avec une source calorifique de température constante T, elle gagne une quantité de chaleur Q complètement déterminée par la capacité calorifique C, et l'on a