rcr
volume, en centimètres cubes, sera — ^— ; donc son poids, en grammes, sera
4irr3 x 0 24
— — ^— • Gela posé, le poids de l'eau déplacée par la sphère de liège étant
évidemment en grammes — — > il en résulte une poussée de bas en haut égale à
4rcr5 4^r5 x 0,24 4^r5 x 0,76
Atz)'5 x 0 76 Or cette poussée doit égaler le poids du plomb; donc — • — = 622sr,40,
d'où r = \hrrr, 1 , , , o — 5C,925; donc le diamètre = llc,85.
V 5,04xo,1416
X. — Deux liquides, dont les densités sont 1 et ^, sont disposés l'un au-dessus
de l'autre et ne se mêlent pas. On plonge dans ces liquides une sphère dont la
densité est y On demande, lors de l'équilibre, le rapport des segments qui
seront plongés dans les deux liquides.
Soit V le volume du segment supérieur et V celui du segment inférieur, c'est-à-dire plongé dans le liquide le plus dense. Le poids de la sphère est
— — ii et celui des liquides déplacés — = h V. Or les deux poids sont
égaux, donc — — -. =-V + V, d'où V = 3V.
XI, — Un morceau de bois, dont la densité est 0,729, a la forme d'un cône
droit. On le fait flotter sur l'eau de manière que son axe soit vertical. En mettant d'abord le sommet en bas, puis le sommet en haut, on demande quelle fraction de la hauteur du cône s'enfoncera dans chaque cas.
1° Soit V le volume total du cône, et v le volume de la partie immergée ; soient H et h les hauteurs des deux cônes, D la densité du bois, d celle de l'eau.
Les volumes V et v étant de même poids sont en raison inverse de leurs densités : on a donc — = -> ou -—■ = -, puisque les volumes des cônes semblables
sont entre eux comme les cubes des hauteurs ; d'où /i3 = — — • La densité d étant
égale à 1, et faisant aussi H == 1, il vient h = y/b = V0,729 = 0,9 de H. 2° Dans la seconde position du cône, soit v le volume non immergé, on a
V d H3 d. ,, . L3 lP(d — D) t
v = n» 0U TR Zl = n » d 0U h = S • = 1 — D,
en faisant H = 1 et d = 1. Donc ona/i= '^ 1 — 0,729 = 0,647 de H.
XII. — Un cylindre de bois de hêtre flottant horizontalement sur l'eau (fig. 1107),
on demande le rapport du volume immergé au volume surnageant, sachant que le poids spécifique du hêtre est 0,852, et que celui de l'eau est 1.
Les deux volumes dont on cherche le rapport ayant même hauteur h, soient S et S' les segments de cercle qui leur servent de bases, le segment S étant immergé et le F segment S' surnageant.
°' Le volume immergé est S/i, le volume
surnageant S7t, et le volume total du cylindre est (S + S')/i. Le poids du cylindre est donc (S -+- S') h x 0,852, et celui de l'eau déplacée S/i ; donc
(S + S'j h x 0,852 = S/i ; d'où |^ = 0,173.
XIII. — Étant donnée une sphère de cuivre de 0m,18 de rayon, creuse et contenant une sphère de platine de 0m,05 de rayon, de telle sorte qu'il n'y ait aucun vide entre les deux sphères, on demande de calculer le poids de la masse ainsi formée, sachant que la densité du platine est 21,50, et celle du cuivre 8,85.
n., , , ,. 21,50 x/iTrr3 ., , . 8,85x4tc(R3-?-3) Poids du platine = — ■ — = > poids du cuivre — = •
Somme des poids = j (21,5r3 h- 8,85R3 — 88,5 r3) = 4,1888(12,65 x53 + 8,85 x 183j = 222k,820er,92.
XIV. — On fabrique avec de l'or, dont la densité est 19,362, des feuilles qui ont un dix-millième de millimètre d'épaisseur ; quelle surface pourrait-on recouvrir avec 10 grammes d'or ?
En appelant x la surface demandée, en centimètres carrés, x x 0C,0C001 représente le volume des feuilles d'or, et xx 0C,00001 x 19,562 leur poids ; donc onaxx 0%00001 x 19,562 = 10gr; d'où x = 5n,c,16dc,47cc.
XV. — Un verre à vin de Champagne, de forme conique, a intérieurement 0m,06 de diamètre au bord ; il a été complètement rempli de mercure, d'eau et d'huile, en proportion telle, que la couche formée par chacun de ces liquides
a 0m,05 d'épaisseur. On sait que la densité du mercure est 13,596, celle de l'huile 0,915, et celle de l'eau 1. Calculer le poids du mercure, de l'eau et de l'huile, en négligeant l'influence de la température sur la densité de ces liquides.
D'après l'énoncé, on a om — 5e (flg. 1108), et
ok — ki = m(=5.
De plus, les triangles oma, kna et ipa étant semblables, il
s'ensuit que ip = -om=\, et kn = ~o?n = 2. 5 o
Cela posé, le mercure se trouvant à la partie inférieure,
puis l'eau et l'huile (167), le volume du cône abp occupé par
, , t-z ai 3,1416 x 1 x 5 ,„nt ,. ~n
le mercure égale n.ip* x -=- = - = "> cub,2o6.
Les volumes de l'eau et de l'huile sont des troncs de
cônes qui se mesurent au moyen de la formule connue
TT
% (R2 -+- r2 h- Rr) x -» dans laquelle R et r sont les rayons
o des bases du tronc, et H sa hauteur.
Donc le volume d'eau benp — — (4+1 + 2) = 36ce
Fig. 1108.
et le volume d'huile edmn =
Ces volumes connus, on aura les poids demandés, d'après la formule P = VD, en multipliant chaque volume par Ja densité correspondante. On trouve ainsi que le poids du mercure est 5,236 x 13,596 — 7 l6r, 188 ; celui de l'eau, 56,652 x 1 = 56sr,652, et celui de l'huile, 99,484 x 0,915 = 91*r,027.
XVI. — Déterminer les volumes de deux liquides dont les densités sont, pour l'un 1,3, et pour l'autre 0,7, sachant que, si on les mélange, le volume est égal à 3 litres et la densité 0,9.
Soient v et v' les deux volumes demandés, on a d'abord v h- v' = 5lil [1]; et d'après la formule P = VD, le poids de chaque liquide étant vx 1,3 et v'x0,lt on a 1,5 v ■+■ 0,7 v' =0,9 x 5 [2]. Résolvant les équations [1] et [2], on trouve v == 1 et v' = 2.
XVII. — Les décimes actuels pèsent 10gr, et sont composés d'un alliage de 0,95 de cuivre, 0,04 d'étain, et 0,01 de zinc ; la densité du cuivre est 8,85, celle de l'étain 7,29, et celle du zinc 7,12; combien faudrait-il de ces pièces pour fournir le métal nécessaire à la fabrication d'une sphère de même alliage de 0m,25 de diamètre à zéro?
Le volume v d'une pièce de 10 centimes est, d'après l'énoncé et d'après la
formule V = -,
4ttR5
Or, le volume de la sphère étant — ^— » le nombre des pièces est
XVIII. — Un vase de forme conique a 0ra,08 de diamètre à son ouverture et 0ra,12 de hauteur; il est placé d'aplomb et rempli de mercure et d'eau dans des proportions telles, que le poids du mercure est le triple du poids de l'eau. La température est zéro, la densité du mercure 13,598, et celle
de l'eau 1^ On; demande l'épaisseur de chaque couche liquide (fig. 1109).
Volume total == - *RSH; volume du mercure = o
-rj'-ij; et volume de Peau = =-îc(RsH — r*y). Donc
le poids du mercure esl-w-yd, et celui de l'eau
- - x (R2H — r-y) ; ce qui donne, d'après l'énoncé,
1 » j n*TT » J5 . 5R2H
-)1yd = \\-\\ — r-y; don y = ~— — — ==— ,
Ui
Or -=- = -r = —y > donc y = — — x t^-=™» r2 ?/2 7/2 ^ y2- 16,598
Fig. 1109.
d'où y =
= 0m,0678, et H — y = 0»,0522.
XIX. — Le poids spécifique du zinc étant 7 et celui du cuivre 9, quelles quantités de zinc et de cuivre doit-on prendre pour former un alliage qui pèse 50 grammes, et dont le poids spécifique soit 8,2, en admettant que le volume de l'alliage soit exactement la somme des volumes des métaux alliés ?
Soient x et y les poids de zinc et de cuivre demandes.
On a d'abord x -+- y = 50 [1] ; et, d'après la formule P = VD, qui donne V = -» les volumes des deux métaux et de leur alliage sont respectivement
9 et P' on a donc ? -
Résolvons les équations [1] et (
on trouve x ■■
17sr,07 et y ■= 52*r,95.
XX. — Quel est l'effort F nécessaire pour soutenir une cloche pleine de
mercure et plongée dans le même liquide, son diamètre intérieur étant de 6 centimètres, sa hauteur ob (lig. 1110) au-dessus du niveau du bain de 18 centimètres, et la hauteur du baromètre étant de 0™,77?
A l'extérieur, cette cloche supporte, de haut en bas, une pression égale au poids d'une colonne de mercure qui aurait pour base la section cd et pour hauteur celle du baromètre; par conséquent cette pression égale xR2 x 0,77 x 15,596.
A l'intérieur, elle supporte, de bas en haut, une pression égale à la pression atmosphérique, moins le poids d'une colonne de mercure qui aurait pour base la section cd et pour hauteur ob, c'est-à-dire que la pression de bas en haut égale xR2 x (0,77 — 0,18) x 13,596 = icRs x 0,59 x 15,596. L'effort nécessaire pour soutenir la cloche sera donc égal à la différence de ces deux pressions ; on a
ttR2 (0,77 — 0,59) x 15,596 = -R2 x 0,18 x 15,596. En faisant R = 5 centimètres, on trouve F = 6k,919^r.
XXI. — A quelle hauteur s'élève l'eau au premier coup de piston dans le
Fig. 1110.
tuyau d'aspiration d'une pompe, la course du piston étant de 0m.50, la hauteur du tuyau d'aspiration de 6 mètres, et sa section — de celle du piston? Au commencement de l'expérience, l'air dans le tuyau d'aspiration est à une pression égale à celle de 10 mètres d'eau.
En représentant par 1 la section du tuyau, celle du corps de pompe est 10, et les volumes du tuyau et du corps de pompe sont respectivement 6 et 5. Donc, en représentant par x la hauteur à laquelle s'élève l'eau dans le tuyau, les volumes d'air dans la pompe, avant et après l'ascension du piston, sont 6 à la pression 10, et 5 h- 6 — x à la pression 10 — x; d'où 6x10 = (11 — a) (10 — x).
Résolvant, on trouve x' = 18m,26 et x" = 2m,74.
La première valeur est une solution étrangère qui ne satisfait évidemment pas à la question ; donc la hauteur à laquelle s'élève l'eau est 2m,74.
