Première Partie. Livre ï

et la supposition h égal a k -{- l -{- i entraîne les valeurs

(i —ç)v^j — r= {2k + i);r— rfcr,

(i — C)t^,.* — r = (2/ + i);r + dçTT,

Maintenant, si nous désignons par r^ la valeur de r qui résulte de la formule générale, en y portant les expressions signalées de l'argument, nous aurons :

^ i+xco8dç;r' ''' l — Ç ^ i—Ç '

^ ajl—x') y ^r+;r {2I + d)ç7:

^^ I— xcosdçr' '-^ 1— ç""" i—Ç '

En attribuant à h d'autres valeurs que celles qu on a supposées cidessus, on retomberait toujours dans Tun ou l'autre des cas déjà cosidérés. Nous ne distinguons donc que ces deux cas.

Dans les formules que nous venons d'établir, / et d peuvent acquérir les valeurs de tous les nombres entiers, positifs et négatifs, zéro y compris. Cependant, si Ton y fait d égal à zéro, on ne déterminera plus un point d'intersection, mais bien un point sur l'un ou l'autre des cercles concentriques, lesquels sont touchés seulement par la courbe périplégmatique; puis, en n'admettant que les valeurs positives de d, on aura néanmoins tous les points d'intersection, vu qu'on pourra toujours supposer k > L

Cela étant, si l'on attribue à / les valeurs des nombres entiers, positives et négatives, et qu'on suppose d constant, on aura une infinité de points d'intersection, tous situés sur la circonférence d'un cercle — on peut l'appeler isopycnote — dont le rayon est donné par l'une ou l'autre des expressions précédentes de r^. Ensuite, si l'on renouvelle ce procédé avec une autre valeur de rf, on aura une nouvelle suite de points d'intersection le long d'un nouvel isopycnote, et ainsi de suite. De la sorte, on obtient, en mettant au lieu de d les nombres entiers, une infinité d'isopycnotes.

Considérons deux points sur le même isopycnote. En désignant les deux valeurs de / par l et l^, on aura les relations

Traité dtê orbiteg abtolwê. q

dont k différence est:

rr ir 2{l,—l)ÇK ^hd ^Id — j ç •

Faisons voir qu'on peut prendre le nombre /j de manière que la différence que nous avons mise en évidence soit si près d'un multiple de 2;r qu'on voudra, le nombre l étant fixé. En effet, si Ion désigne par m un nouvel entier, et par ^, une quantité irrationnelle plus petite que l'unité, on peut mettre

d'où:

Evidemment, les nombres /, — Z et tw peuvent être choisis de manière à rendre le rapport -. si approché de que l'on voudra. Us'ensuit, à

employer la terminologie de M. G. Cantor, que les points d'intersection sont condensés dans toute l'étendue de l'isopycnote, et que les ensembles sur les divers isopycnotes sont des images, les unes des autres. II est encore évident que la condensation est la même dans toutes les directions.

Sur chaque rayon vecteur appartenant à un F,^, prolongé jusqu'à la circonférence extérieure, se trouve une infinité de points d'intersection, condensés dans toute l'étendue de ce rayon entre les deux circonférences entourantes, mais la condensation n'est pas uniforme dans cette étendue.

Pour démontrer cette thèse, rappelons-nous qu'on obtient exactement la même valeur de F^^, si l'on introduit, dans les formules générales, des valeurs de Z et (i satisfaisant aux conditions

il y a donc une infinité de points d'intersection sur chaque rayon vecteur.

Mais, voyons encore comment sont distribués ces points sur les divers rayons.

Dans ce but, après avoir désigné par n un nombre entier, et par s, une quantité déterminée au moyen de la formule