Première Partie. Livre I

et si l'on suppose, dans cette équation,

il s'ensuivi'a:

= a\i — x^)'y p = a(i — x^) = Cy

, 1 dr

du = ~

doù Ton tire:

r = a(i — xcosw).

Fuis, en admettant la notation

/•=(i ç)t;-r, il sera facile d'obtenir les expressions

, I — XC09U j,^ i \J3 l \ --

du = — df\ (i — x(to^u)du == (i — c)a « ^7-

après quoi, en les intégrant, on parvient aux résultats

taûg^/'= VT^r^teng^^; (1 — c)a'"^(r — rj = ti^xsinti,

la constante arbitraire, introduite par l'intégration de la seconde équation

différentielle, étant désignée par — (i — c)^ ^t;,.

On obtient finalement r en fonction de f au moyen de l'expression

I + xcoaf

Qu'on remarque l'analogie des formules que nous venons d'établir avec celles de notre deuxième exemple : il n'y a, en effet, entre les deux systèmes de formules qu'une seule différence, à savoir que, dans les formules de l'exemple présent, l'argument f remplace l'argument v figurant dans les formules du second exemple. ^ Cependant, la nature de la courbure, définie par l'équation précédente, est bien différente de celle d'une ellipse; elle à cela de commun avec l'ellipse, il est vrai, de rester toujours périplégmatique, pourvu que l'arbitraire x soit inférieure à l'unité, mais elle jouit, comme

16 Traité des Orbites des Planètes.

les courbes de M. Poincaré, de la propriété d'avoir une infinité de ppints d'intersection. Cherchons à les déterminer.

Dans ce but, concevons deux points de la courbe dont les longitudes diffèrent, l'une de l'autre, d'un nombre entier de circonférences. En désignant ces longitudes par î?^, et V/^, k et l étant deux entiers quelconques dont la différence sera d, de sorte qu'on ait:

et par F,,,, la valeur de v^j ou de Vj^ qui subsistent lorsque k on l est égal à zéro, on aura:

v,j = 2k7r + Vi^y V/.* = 2Z;r + F,.^.

Puis, pour établir l'égalité entre les rayons vecteurs appartenant aux longitudes signalées, ce qui est nécessaire pour déterminer un point d'intersection, il faut qu'on ait:

h étant une troisième entière prise à volonté. Par les relations établies, on obtient:

d'où il est immédiatement visible qu'il faut prendre les signes supérieurs. Cela posé, nous aurons:

Avec cette valeur, il sera facile d'arriver aux expressions: (i — <:Wi — r= [A + d{i — c)];r, (i - <:W, — r= [h — d{i — c)];r; donc, si l'on admet h égal à k + ly il viendra:

(i — c)t^^./ — /' = 2A:;r — dçTTy (l — c)V/.* — /' = 2/;r + dçTT,