Première Partie. Livre I

de sorte qu oe

concevons les

expressions

rd =

a(l-x') I + X C08 rfç;r '

déduit:

On en

I + xco8d,ç;r i +

z cos (oJç;: + 2tn)

ax{\—x^

, rr»fkC fi^^r -

(i + ;fC08

irfç;r)(i + ;fC0s(rfç;r +

, 1 cos aÇTT

2ax(l -

— X*) sin e;r sin (^dçiz + <

(I + ;f cosc/ç7r)(i + rcos(dç7r + 2e;r))

De ces relations, il sera facile de conclure qu'on pourra choisir les entiers n et d^ {d étant fixé) de façon que la quantité e , et en conséquence, la différence r^^ — r^ soit moindre que toute quantité donnée. De là, il se comprend que la condensation des points d'intersection s'étend sur toute la portion du rayon vecteur comprise entre les deux circonférences.

Mais la condensation dans cette étendue n'est pas uniforme: elle est plus grande près du cercle intérieur qu'au voisinage du cercle extérieur, et notamment au milieu de ces deux cercles, ce qui s entend immédiatement de la formule précédente, qui montre que la différence r^^ — r^ prend les plus petites valeurs, lorsque dçTt est près d'un multiple de tt, et les plus grandes, lorsque ce produit sapproche d'un multiple impair

de -TT.

A chaque point où se coupent les diverses spires de la courbe que nous venons d'étudier dans le n** précédent, on peut mener deux tangentes touchant l'une et l'autre partie de la trace.

Désignons généralement les angles que forment ces tangentes avec la direction fondamentale par a, de sorte qu'on aura

cotang(a — t?)=~,

^x(i — g)8in[(i ^ç)v — r)] I + ;fCOs[(i — ç)t; — r]

20 Traité des Orbites des Planètes.

Si, dans cette formule, on introduit au lieu de v, Tune après l'autre les valeurs v^j et Vu^, et quon nomme a^j et «/.^ les valeui^s que prend a en vertu de ces deux substitutions, on parvient aux formules

, / o / x\ ;f ( I — ç) sin dçTT

tang ^90° - («., - vj) = ,H.,eo8dc. '

tang(90» - («,, - V,,)) = '^(]^A^. ,

desquelles on tire:

ou bien, en ne tenant pas compte des révolutions entières,

«*.! + a,.A = 2F,rf + l8o^

Tant que ç est un nombre irrationnel, ainsi que le produit çtt, l'angle 90"^ — {oLj^i — Vti) ne peut pas disparaître exactement, et en conséquence, les deux tangentes menées à un point d'intersection, ne peuvent non plus coïncider. Mais, il y a une infinité de points d'intersection oîi langle que forment les deux tangentes est plus petit que toute grandeur désignée.

11 s'ensuit encore que langle formé par les deux normales est divisé par le rayon vecteur en deux parties égales.

L'expression du rayon de courbure devenant avec les valeurs signalées de v:

/ Ml —ç)smdç7:y\^ * y \ I + xcoadçT: ) J

/ ^ /x(l ~c)8indc;ry\i

\ \ I X CO8 dÇTT ) )

il sensuit que la courbure des deux spires est la même au point d'intersection; néanmoins, à ce point, il y a deux rayons de courbure égaux et faisant, l'un avec l'autre, Tangle a^j — a,.4 .

Voilà l'exemple le plus simple d'une courbe périplégmatique non fermée: nous en avons examiné les propriétés un peu en détail, vu que dans