Première Partie. Livre IL

donneraient alors les expressions de cosn{H). Mais il faut encore déterminer les fonctions M„ , M'„ , N^ , . , . , R„.

A cet égard, nous faisons d'abord la remarque que M^^ et M'^ sont de telles fonctions de (j) et (}') et de v et v', que, si M^ était connu, on obtiendrait M'^ en changeant 3 en j', j' en j, v en v' et v' en v. C'est de même quant aux fonctions N„ et iV^, P„ et P^, Ç„ et Ç^, dont les P et les P* ne dépendent toutefois que de v et v'. En conséquence, il suffit de ne mettre en évidence que les M„y les N„, les P„, les Q^ et les R^,

Voici les expressions des quantités dont il s'agit:

M,=- (î) cos (v - V) + ^ ^^ siu (v - V) + (a'),

^, = — 2(}) — 2(}) COS 2(v — V') + ^ sin 2(v — v') + 4(j') cos (v — v'),

^3 = - 6(a) cos (v — V') — 3(a) cos 3(v — V) + f ^^sin 3(v — V)

+ 3(3') + 6(s')cos2(v-v'), -^4 = — 4(j) — 8(j) ces 2(v — v') — 4(a) cos 4(v — v')

+ 2 ^) sin 4(v - V) + 8(a') cos (v - v') + 8(a') cos 3(v - v'), M^=— io(a) cos (v — v') — io(a) cos 3(v — v') — 5(a) cos 5(v — v')

+ 2S'^'^°5(v - V) + 5(a') + io(a')cos2(v-v')+ io(a')co84(v — V'),

If g = — 6(a) — i2(a)cos2(v — v') — i2(a)cos4(v — v') — 6(3) cos6(v — v')

+ 3 ■^- sÏQ 6(v — v') + 1 2(a') cos (v. — v') + 1 2(a') cos 3(v — v')

+ i2(a')cos5(v — v'),

M^ ==— i4(j)cos(v-v')-i4(j)cos3(v-v')-i4(j)cos5(v-v')-7(a)cos7(v-v')

+ ^^^sin 7(v- v') + I4{j')+ i4(î') cos 2(v— v')+ 14(3') cos4(v-v')

+ i4(î')cos6(v — v'),

184 Traité des Orbites des Planètes.

-^« = ^(a)smw(v — v'),

}\ =-. icos(v — V'),

Pj = I COS 2(v V'),

P3 = — 3 COS (v — v') — ^ COS 3(v — v'),

P^ = 2 4 COS 2(v v') 2 COS 4(v — v'),

P5 = — 5 COS (v — v) — 5 COS 3(v — V) — ^ cos 5(v — v'),

Pg = — 3 — 6 cos 2(v — v') — 6 cos4(v — v') — 3 cos 6(v — v'),

P7 = — 7 cos (v — v') — 7 cos 3(v — v') — 7 cos 5(v — v') — - cos 7(v — v'),

Ç, =%inn(v — v'),

iîj = 4 cos (v — v'),

^3 = 3 + 6 cos 2(v — v'), ,

ij;^ = 8 cos (v — v') + 8 cos 3(v — V),

jBj = 5 + 10 cos 2(v — v') + 10 cos4(v — v'),

iîg = 1 2 cos(v — V) + 12 cos 3(v — V) + 12 cos 5(v — v'),

jB^ = 7 + 1 4 cos 2(v — v) + 14 cos 4(v — v') + H cos 6(v — v'),

On pourrait encore exprimer les ilf„ et les N^ au moyen des fonctions / sin {Q —&), I cos (i2 — 0) , /' sin {Q' — 0') et /' cos (£' — 0'). Mais bien que les résultats s'obtiennent assez facilement, je les omets pourtant, vu quon n'a besoin que de quelques termes, lesquels on cherchera, selon les circonstances des divers cas, séparément des autres.