Première Partie. Livre II
Certes, on pourrait continuer le calcul de ces coefficients aussi loin qu'on voudrait; cependant, si n acquérait des valeurs plus grandes que celles que nous avons considérées, il serait plus aisé de déduire les coefficients suivants en utilisant le théorème de M. Tisserand, dont voici le teneur.
Soit:
8in(n+ i)g^ j^„, ^ 2ri?;Jcos/a; + 2lR^]co^jy + A^lR^'cof^ixco^jy, sin il * * *''
on aura, en vertu de l'équation
o- 8in(n + i)g 8in(n— i)H
2 COS nXZ = ; :^ ; = ,
8in a 81Q H
la relation
Or, M. Tisserand est parvenu à représenter les quantités R au moyen de la formule
^'•^ ' (2.4...2ir
OÙ, en supposant i + / — n pair et négatif, il a désigné, par F {a , ^ , /* , v) la série hypergéométrique de Gauss: les coefficients demandés s'obtiennent ainsi d'une manière directe.
On voit par là que le coefficient Ç$"j renferme toujours le facteur /£V, remarque qui nous sera utile prochainement.
53. Nous allons maintenant mettre la fonction cos Jî sous la forme de l'équation (13). Considérons, à cet effet, deux triangles sphériques formés, sur la sphère céleste, l'un par le plan fixe et les plans instantanés des deux planètes, et l'autre, par le plan des trois corps, le soleil et les deux planètes.
En conservant les notations du chap. Il du premier livre, et eh désignant par £ et I' les longitudes du noeud commun des deux plans in-
Traité dee Orbites des Planites.
stantanés, ces longitudes comptées dans les orbites respectives à partir des mêmes origines que celles des angles a et a, et, par J Tinclinaison mutuelle des deux plans, on aura tout d abord:
(15) cos 5 = cos {v — S) cos (t;' — S') + sin {v — I) sin (v' — 2') cos /,
ainsi que les formules suivantes:
sin- /sin- (r — er' + I — (t) = sin- (6 — 9') sin ^(i + i'), sin- J cos- (2^' — (t' + I — a) = cos- (6 — 6') sin- (i — t'),
cos- Jsin- (r — (/ — {I — 0))= sin- (e — 9') cos^ (t -|- i'),
COS- t/cos- (r — y — (I — a)) = cos- (6 — 6') cos- {i — i'),
et encore celles-ci:
(17) cos J" = cos i cos i' -|- sin i sin i' cos (e — 9'),
sin J sin {I — a) = sin i sin (O — 9'), sin / cos {I — o) = sin i cos i' — cos i sin i' cos (9 — 9'), sin J sin (2" — (t) = sin i sin (9 — 9'), . sin J cos (J?' — ^') ~ — ^^s ^ ^^^ ^' + ^i^ ^ ^^s i' cos (9 — 9'). Maintenant, si Ton met Téquation (15) sous la forme
cos^ = cos^J' cos(t; — S — {v' — D) + sin ^ J* sin (t; — }; + v' — T),
et qu'on la rapproche de Téquation (13), il s'ensuit qu'on doit mettre
fx = cos- J^; p = sin-t7^;
Nous voilà donc au terme de nos préparations. Pour avoir les expression9 des çosw5, il suffit, en effet, d'introduire, dans les formules de
