Première Partie. Livre II

M. Tisserand, les valeurs signalées de /£ et v, de a? et y. Mais les résultats qu'on obtient ainsi, n'étant toutefois- utiles au calcul des termes élémentaires que dans des cas spéciaux, il faut les transformer ultérieurement. H faut, en effet, exprimer les coefficients /£ et v, par les^fonctions anastématîques et remplacer les longitudes 2" et I' par a et (t. Dans le cas de trois corps seulement, cette transformation s'opère immédiatement. On sait, en effet, que les points d'intersection des deux plans instantanés restent, dans ce cas, constamment dans le plan invariable du système, d'où l'on conclut la relation

e — e' = ISO**.

En vertu des équations (i6) et (17), il sera maintenant facile d'obtenir les valeurs

avec lesquelles on parviendra, facilement, aux formules transformées.

C'est autrement dans le cas général, où l'on envisage les actions de plusieurs planètes, s'attirant mutuellement. Les' transformations demandées étant alors plus laborieuses à exécuter, on les opère à plusieurs reprises, en commençant par mettre les fonctions cos nH sous la forme cosnH= IAfJ'v'[e v-i[M^-^-(.'-r))+,(.-jr+.'-r)j

A étant un agrégat fini 'de puissances entières de v, ou de /£, chacune multipliée par un certain nombre rationel, ei p et g, des entiers positifs. Evidemment, cette formule s'écrit aussi de la manière suivante:

(19) cosnJ2'= SAijfu'^ie v^^ip('^''-«''-('^--<'))-î(-'-<^>--^)+/'C*-<'-<*'-<'*))+^(«'--<'+«''--<^')J

I ^ v'-i[p(2''-</-(2'-<r)) + ff(r-<y'+i:-<y)+/.(v-ff-(i»'-«r'»-î(i»-<y+r-y)] I g-v^-i [p(2"-y-.(2'— rf))-^(i:'-<r'+2'— <0+P(»-«r-(i>'-fl'))+«(e-<r+e'-<r')] I ^-^i[pir-^a-i2!-<T))-^gir-e + 2:- ff)+p(i>-ff-(«'-ff'))-ç(»-,r+«'-(i')] j

Or, puisqu'on a:

190 Traité des Orbites des Planètes.

il serait facile d'exprimer les cos nH au moyen de è , i' , 6 et 6', pourvu qu on eût établi de pareilles expressions de /£6*'~*^-~*'"^-"''^^ et de ve**^~*^- ""'"*" -"'^\ Mais celles-ci s'obtiennent aisément en vertu des équations (i6). On en tire, en formant le produit de la première avec la deuxième et celui de la troisième avec la quatrième, ainsi que les carrés de la première et de la troisième ou de la deuxième et de la quatrième, les équations que voici:

sin - J^ sin (2" — a + I — ^) = " (^^^ i' — cosi) sin (e — 6'),

sin - J' cos {I' — ar + I — er) = - cos J cos (i' — 0 + " ^^^ (® — ^')

cos (i' — i) cos (0 — e'),

COS- fP sin (2" — (/ — (2 — a)) = - (cos t + cosi') sin (e — 9'),

COS -J^ cos(2' — (/ — (2 — a)) = cosJ + "Cos(i' — i) + -cos(e — 9')

+ - cos (i' — i) cos (e — e'), et si Ton y porte les valeurs

cosi = I sini'(i + f); cosi' = i — 7-sini'^(i + f)

ainsi que celle de cosJ" donnée par Téquation (17), on parvient, après quelques réductions faciles, aux résultats suivants:

sin î J' sin(r— (/+ 2—^)= - [sini'(i + f ) — sini''(i + f')] si" (^ — ^'),

sin -J* cos (J'' — </+ S — 0)= sinismi'+ -sin j'(i + f ) + -8ini"(i + f)

— ^ sin t* sin i'\i + f )( i + f ) 1 cos (e — e'), cos ^ J' sin (2"- tr' - (S- <7)) = 1 i - - sin i»( i + f) - 1 sin i"( i + f) 1 sin (e - e'),

cos^ J*cos(2"-<r'-(2:-.<r))= ^inisinf + Ti - -sinè'(i + f)— -sini'*(i + f)

— ^ sin i» sin i"(i + f)( i + f')l cos (6—9'),