Première Partie. Livre II

d'où décoalent immédiatement les relations:

^^•-i(--w+i:-.) = I sin i sin i' + - sin i*( I + £)«»'-'»-«')

+ -sini"(i + f')e-V->(e-e)

— ±aini' 8ini"(i +f)(i +f')(e»'-'«-«>+ e-''^'<«-«'>),

j.g-^-xr-.'+j-,) ^ , ^ gi^ ^ gin j' + £ gin »»( I + f)e-''^(«-6>

+ -sini'(i + f')e«'-'»-e)

— ^ sin i' sin i"(i + f)(i + f')(g''-»-»> + e->'^'«'-«>>),

^g^rï(r-»'-(r-.)) ^ gjjj . gjn i' ^ r, i gin j»(i | f)

— -sin i"(i +£')]«•'-''•-'"

— ^ sin i» sin i'»( I + f)( I + f )(ev'-ue-e') , g-^rwe-e))^

^-^.(2--,-(i--.)) ^ i sin i gin ^z , r I i gin éV, + f)

— -sinî'»(i +f')y — ■j^sini'sin«'»(i +f)(i +f)(e»'^«e-«' + g-»'=^i(6-<»')).

Avant d'aller plus loin, je remarque que la somme de la deuxième et Àe la quatrième des équations (20) donne immédiatement:

cos(e — ô') = cos- t7'cos(r— a'— (S — a)) + sin- J^ cos(r — (/+ I — a)

= cos (r — (/) cos (2' — a)+ sin (2" — </) sin (2 — ^) cosJ,

équation qui résulte d'ailleurs du premier des triangles sphériques mentionnés un peu plus haut.

Mais reyenons à l'équation (19), et introduisons-y les valeurs qu'on a données au moyen des équations (21). On obtient de la sorte:

(22) cosnfl"= J^^l fi — -sini»(i + f) — -sini"(i + fOV-""-^''

+ isin?8ini'e'' "'<'-'■-*»-«■»

— -j^sin i' ami'\i +f)(i +f')(e*' ->(---) +e»'-'<'-^-»«>-6'»)|'' X -sinî»(i + f)g»'-<'+--»«) + i8inî"(i + f')gV=^i<-+^-«»)

— -sintsini'e''^<^-^^'-»+»»

— -j^sini'sin*"(i +f)(i +f)(e''-'(''+--w +e^-uv+T-«.))|'

+ 52-4Jri — -8ini»(i + f)— ^8inî"(i + f')V"^'<'-^'> + - sin i sin j'g»'-.(»-T'-(6-e-))

— ■j^8ini»sini"(i +f)(i +f')(c''~«^-^> + g»'- •(---'-««» -e»)!' X |-8ini»(i + £)«-»'-(-+-■-«) + i8ini"(i + f')e-»^'(-+--«'')

■ - sin » sin i'e-^"'<'+^-»+»»

— -^sint'sinî"(i +f)(i +f')(e-v^(^+--««+e-*^«''+-'-»«'>)

. + ^ sin i sin i'e-«'="'<''-''-<»-«»

— ■j^8in»»sini"(i +f)(i +f')(e-<'-'CT-T'),g-^.(T-v-.(e-e,))j''

Cette formule se continae à U page tuiTante.

— -sin i sin i'e-»'-'<''+''-<9+«»

— -j^sini»8ini"(i +f)(i +f')(e-^-<'+''-»«>+ fi-''- "+'''--»»•)) + S^|r' — -sinJ'(i + f) — isini'»(i + f')V''^'<'-'>

+ - sin i sin i' «-•'-' <^-'-<'»-«»

— -^sini'sini"(i +f)(i +f')(fi-''-<'-v>^.e-^-.(v-v-«e-eJ

X -sini'(i + f)e''"'(- +'•-«» + isini'Xi + f')cV-'(r+.'-îe) — -sinisint'e*'^('+"'-<*'+»"

— ■j^sini'sini"(i + f)(i + f')(e*'-i <"+'■-='»' + ev'-.(vf»-M))|'

On voit sans peine que cette formule peut se transformer de manière à s'exprimer par les fonctions /e*^ »^^-^> et /'e±^-»^^-^*> et par les arguments V , v' , ^ et ï»' . En effet, si Ton se rappelle les formules

sinie*^^»^ = Je*^^^^*+^-^> + {(C))e^'\ sini'e*^^^' = i'gtv'rK^'+i/-^') ^ ((^'))^t*v^

qui découlent immédiatement des équations (31) du n** 32, on opérera facilement la transformation dont il s'agit, sans qu'il soit nécessaire d'en indiquer ici plus de détails.

Mais mettons encore en évidence l'expression de v», dont les puissances entrent dans les coefficients A. Dans ce but, nous reprenons l'équation (17), qui nous donne sur-le-champ celle-ci:

2v = - sin i'(i + f) + ~ ^^^ ^''( ^ + n — s^^ ^ ^^^ ^' ^^s (e — e')

— -sini'sini''(i + f)(i -f f).

Traité des orbites absolues. 25

Traité des Orbiles des Plauèles.

Avec les formules que nous venons d'établir, il sera facile, en considérant l'équation (14) ainsi que les valeurs des différents Q^\, de former les expressions des cos nH. Ainsi par exemple, on obtiendra l'expression de cos2ff, en portant, dans Téquation {22), les valeurs

j> = i; ry = I,

^ '■=— ;Ki — J^); V = o\ </ = o.

Le calcul effectué, on retrouve, en effet, le résultat dont nous avons donné, dans le n° 50, les termes du degré zéro, du deuxième et du quatrième degré. '

Ainsi, en partant du théorème de M. Tisserand, on a établi la théorie complète de la transformation des cos nH.

54. Arrêtons nous encore à quelques relations qui pour diverses raisons peuvent avoir de Tintérêt.

Si nous mettons l'expression de cosfl sous la forme

(2 3) cos H = A cos V cos v' + B^ sin v sin v' + A^ cos v sin v' + B sin v cos v\

il sera facile, en, considérant l'équation (15), de conclure les valeurs suivantes des coefficients:

cos - J'' cos (1'

cos - J' cos (2' 2 ^

cos- 7' sin (2' 2 ^

cos - </' sin (2'

2') + sin ^J» cos (2 + 2"), 2") — sin ^J» cos (2 + 2"), 2') + sin -J' sin (2 + 2'),

2") + sin ij» sin (2 + 2").