Première Partie. Livre I

les cas plus compliqués que nous allons envisager prochainement, les choses seront à peu près les mêmes.

5. Si Ion admet, pour constituer une généralisation de lexemple que nous venons de traiter,

'/ = ^|.+A0-.) + Ae-.)'+ I-

OU bien:

les p étant des quantités très petites, on aura encore une expression périodique de p qui reste toujours inférieure à Tunité, pourvu que les arbitraires introduites par l'intégration acquièrent des valeurs convenables. En effet, si Ton introduit dans Téquation (5) lexpression de P qu'on vient d'indiquer, il en résultera:

p = x^ •\' x^ cosf + x^ cos 2/* + X3 cos 3/* +

On y a, comme auparavant, nommé f langle (i — ç)v — F.

Les deux constantes d'intégration étant désignées par x et Fy les coefficients Xq , x^ y x^ , . . . s'évanouissent évidemment avec Xy et ils deviennent avec cette quantité très petits; ils prennent encore, à l'exception du coefficient x^y des valeurs très petites avec les ^. •

Ce que nous venons de dire relativement aux coefficients x découle immédiatement de leurs expressions approchées qu'on obtient aisément. Les voici:

Zj = X,

22 Traité des Orbitee des Planètes,

auxquelles il faut ajouter Téquation de condition

- (I - c)'-+ I - A = l^x' + |ax* + . . .

d'où s'obtient le coefficient ç.

Je n'insiste pas à donner plus amplement la théorie du développement dont il s'agit, théorie d'ailleurs assez connue par les travaux de plusieurs savants. Je remarque seulement que ce développement est convergent, ce qu'on peut conclure immédiatement des expressions par lesquelles sont donnés les coefficients.

La trajectoire définie par Téquation

l + X^ + X^COSf+ X, CCS 2/" + ...

est une courbe périplégmatique non fermée, jouissant des propriétés principales que nous avons signalées dans le n** précédent.

Pour corroborer cette assertion, cherchons d'abord les points d'intersection qu'ont les diverses spires de la courbe. En opérant comme dans le n** 4, nous retrouvons la condition

(ï — C)v*., — r= 2h7: — (i — c)V/.* + I\ qui nous donne, en remplaçant h par A^ + Z etA;4-^+ i? ^^^ après l'autre,

^ V . y ^ r (2l + d)çjr

^ l + X,+X,C08f+ X^COS2f+ ..." '•** I— ç"^ 1— Ç '

2) h = k + 1 + i p -rr r+ ;r , (2/ + d)çj:

** I + ;fo — *iC0s/'+ ;f, COS2/*-- . ..' '* l—Ç

De ces expressions, on conclut immédiatement que les points d'intersection sont situés sur des isopycnotes, et que ces courbes sont des cercles ayant r^ pour rayon.

Nous ne nous arrêtons pas à établir l'expression de r^^ — r^, qui sera, en effet, différente de celle donnée dans le n° précédent: il nous suffit de remarquer que la condensation des points d'intersection le long du rayon vecteur est plus grande vers les limites de .la couronne qu'elle ne l'est à son milieu.