Première Partie. Livre I

Quant aux tangentes quon peut mener à chaque point d'intersection, il y en a toujours deux. Les angles que font ces tangentes avec la direction de lorigine des arcs, s'obtiennent au moyen des formules

tang (90" - («„ - V, ,)) = ^'-cX>.sindc^ + 2>.am2dc;r+...) «^"ë \.y V»*.» "».*;; i + x, + x, cos dçr: + X, cos zdç:: + ...'

tang(9oO-(«„ - V,,)) = - <■ -gX^. "°'^c^ +^^ ^'"^'^c^ + • • •> , ^ ^^ ^ * ' ^-^'^ i + x^ -^ x^ C03 dçrr + x^ co3 2dç7: + . . .

d'où l'on conclut:

La courbe dont nous venons d'exposer succinctement les principales propriétés peut être considérée comme le type le plus général des courbes périplégmatiques, résultant de l'hypothèse que 77 soit une fonction de r seul. Dans certains cas, subordonnés à cette hypothèse, on pourra mettre l'intégrale de l'équation (4) sous une forme finie, en l'exprimant au moyen de fonctions elliptiques ou ultraelliptiques; mais cette forme, n'offrant pas d'intérêt à la théorie des mouvements des planètes, et du reste, ayant été étudiée à plusieures reprises, je n'en ferai pas l'exposition quant à présent.

6. Venons maintenant à l'hypothèse que 77 soit une fonction de t; seul, ne contenant que des termes périodiques.

Dans le présent ouvrage, il s'agira très souvent d'agrégats de termes périodiques dont le nombre peut être fini ou infini, et dont les arguments sont formés par la variable indépendante v, multipliée par un nombre quelconque A„, auquel produit est ajouté un angle constant b^. Je vais établir, dès le début, une notation particulière pour signifier une telle somme, que je nomme brièvement agrégat périodique. Or, en désignant par a, , a^ , . . . des coefficients quelconques qui forment, sî leur nombre est infini, une série convergente, je pose:

«j cos(AjV + *i) + «2 cos (A3 V -f JJ +

eij sin {X^v + ftj + a, sin {X^v -|- fc J -|- . . . =r= S

24 ' Traité des Orbites des Planètes.

OU bien, s'il n'est pas nécessaire de distinguer les divers coefficients,

a, cos(A,t; + 6J + . . . = G{aXb){v), a, sin {X,v + ft J + . . . = S{aXb){v).

Egalement, je vais employer un symbole spécial pour dénoter un agrégat complexe, à savoir la somme d*un agrégat C et le produit de l'agrégat correspondant S par Tunité imaginaire. La notation dont je me servirai est celle-ci:

ch, ;, . . . \{v) + is A, A, . \{v) = Eh, X, H,

ou plus brièvement:

C{a}.b){v) + iii{aXb){v) = E{aXb){iv).

Dans toute expression de la nature indiquée, les éléments a seront nommés coefficients ^ les éléments A, vitesses de l'argument, et les éléments by arguments initiaux.

Evidemment, on peut supposer tous les coefficients positifs, vu qu'il est permis, dans le cas d'un coefficient primitivement négatif, de changer le signe, pouiTU qu'on ajoute simultanément + r à l'argument initial.

Quelquefois, il serait utile de désigner l'argument complet par un seul symbole. Dans cç cas, les expressions précédentes peuvent être simplifiées. En effet, si l'on admet les notations

on aura, ce qui est très facile à comprendre.

a, fl, H [a, a, . H

C À. A, ... (t;)=:CU, X, A

>, ^ J Lo o ...J

Dans le $econd membre de cette ideptité, on peut évidemment supprimer, sans aucun inconvénient, les arguments initiaux, qui sont partout égaux à