Première Partie. Livre II

et la seconde de ces relations à celle-ci:

On aura, en introduisant ces valeurs dans les formules (4, s, s') et (6, s, s'), des expressions dépendant seulement de v, ou seulement de v', pourvu qu'on y ait fait dépendre H + U de v, et H' + U' de v'. Mais encore, rien n'empêche, afin de rendre les arguments exempts de termes périodiques, de développer les exponentielles suivant les puissances des quantités très

H + U H -I- TJ

petites ^ -——r et ç — -- — . Cependant, ces opérations s'affectuant sans

aucune difficulté, je ne m'y arrête pas.

3®. Lorsqu'il s'agit de développer la fonction

A étant un agrégat périodique dont nous supposons la valeur toujours très petite, les formules que nous avons mises en évidence s'appliqueront encore: il faut seulement mettre, dans les formules (4, s, s'), œ' — A au lieu de cei', et, dans les formules (6, s, s'), cei + -4 au lieu de cei. Finalement, on pourra développer les exponentielles suivant les puissances de A. Ainsi, par exemple, le développement de la fonction

s'obtient facilement, vu qu'on a:

et que G — G' s'exprime moyennant un agrégat périodique dont la valeur est peu considérable.

58. Pour arriver à la forme définitive des développements dont il s'agit, il faut qu'on introduise, dans les formules des deux derniers numéros, les expressîoBS des fonctions U et /7' telles qu'on les a données par les équations (21) du n® 42, et ensuite, qu'oii remplace les fonctions I{yj\rj) et lirj^fj') par les développements (22). De la sorte, on obtiendra les produits, envisagés dans les numéros mentionnés, développés suivant les

Traité des Orbites des Planètes.

puissances des fonctions diastéiuatiqaes. Pour donner un exemple du calcul dont il est question, je vais spécifier les détails relativement à la transformation de e««(-').

On aura d'abord, en partant de l'équation (4,0,0):

g.«{.-.) ^ e*"('-"){[2:-».-"(;y', rj) -)- 2:r'''~"(3y', 7)e*<'— > + . . .

+ [lT"-''-\y)', rj) + i^r'--'(7'. '?)«*^'~''^ + •

+ ...I, OU bien, en considérant l'équation (23) du n® 42:

1 j;«''>-^fyj' „1gîi(ir-r)-4<(>r -/•■)-»(r-<.) I -|g,(,2)V