Première Partie. Livre I

Le développement de cette formule s'opère de deux manières différentes selon qu'on a:

ou:

Dans le premier cas, les deux termes logarithmiques se développent aisément suivant les puissances et les produits des coefficients, et il s aperçoit immédiatement que les développements en résultant contiendront seulement des termes périodiques. On conclut de là que, si Ion fait A égal à A^, et b égal à Jj, l'expression de 6 sera un agrégat périodique sans aucun terme constant. Les résultats de la transformation seront alors:

(«) = e cos(A,t; 4- *i + ^),

{v) = £sin(^iV + ô, + â).

Pour étudier l'autre cas, qui est, en effet, plus compliqué, faisons:

et ensuite:

Ta, a, . ~l

= sh,-A, A3-A.

1 + X = âcosU, Y=âsin U.

Il s entend d abord, en comparant ces expressions avec celles que nous venons de signaler un peu plus haut, qu'on a:

= 2i[{X, — X)v + b^ —b] + 2iU.

Maintenant, pour déterminer les deux fonctions 5 et f/, considérons

les relations

U = arctang— ^,

= arc sm

Par la première de ces expressions, il est visible que la fonction â^ oscille entre une valeur minima qui est, abstraction faite du cas spécial où Ion a:

nécessairement positive, et une valeur maxima également positive.

Désignons la première de ces valeurs par ff^ , et la seconde par g^ ; et posons:

W étant une fonction dont la valeur n excède jamais les limites — i et + i . En mettant finalement: