i+iS'' nous aurons

Puisque le coefficient ^ est, excepté dans le cas spécial déjà mentionné, moindre que l'unité, il s ensuit de la formule trouvée qu'on peut développer

les fonctions d~\ &~^, ... en séries suivant les puissances croissantes de fi. Ensuite, il sera facile, en désignant par n un entier quelconque, de former le développement

qui reste toujours convergent, vu que le rapport -r ne surpasse jamais

l'unité positive ou négative.

Maintenant, si Ion établit les égalités

A = Aj ; 1 = 1^ + 2)17: y

on aura:

d'où l'on conclut, en choisissant les signes d'une manière convenable, que la fonction d ne sort pas des limites ;r et + - ;r.

Le résultat auquel nous sommes arrivés, se retrouve d'ailleurs directement en portant dans les expressions de s cos ^ et de e sin 6 les valeurs signalées de A et de è. On obtient ainsi:

2(0 = log

qui se transforme facilement en celle-ci:

ï + X + ir

iY

iY

iff = log •

Il s'ensuit:

v/(i + xy + y

IV(i +xy

sin<? =

d'où l'on retrouve immédiatement le développement dont il s'agit. Nous déterminerons, dans une section suivante, la fonction 6 d'une autre manière.

Ayant obtenu les résultats généraux que nous venons de signaler, on en conclut aisément que les agrégats périodiques constituent des fonctions oscillant entre des limites variables dont lamplitude maxima s'exprime par le produit 2a^y/'^, g^ étant toujours la valeur maxima de la fonction tf'. Or, un tel agrégat, loin d atteindre à chaque oscillation ses limites extrêmes, à savoir + «iV?2 ©t — «i\/^, n'arrive quaux valeurs + e, et — e^, que prend là fonction e lorsque AjV + 6j + ^ est égal à des multiples de tc ou

de -;r. Mais, à chaque oscillation, lagrégat périodique passe par zéro.

Après avoir rais au jour ces propriétés des agrégats périodiques qui sont, en effet, les plus essentielles, revenons au cas proposé, où Ion a admis:

En introduisant cette expression dans Téquation (4), on arrive à une équation différentielle linéaire du deuxième ordre, dont l'intégrale s'exprime au moyen de la formule

Cj et Cj étant les deux constantes d'intégration, ^, un agrégat périodique, dont la valeur n'atteint pas l'unité, et v, un coefficient constant, qui peut être réel ou imaginaire, et qui dépend des coefficients a^ , «j , ... ainsi que des vitesses A, , A, , .... *

Si 1; est réel, la fonction - croît hors de toute limite finie; si au

contraire v est imaginaire, cette fonction passe une infinité de fois par zéro. En conséquence: ni dans l'un, ni dans l'autre cas, la courbe qui représente géométriquement l'intégrale indiquée, n'est une courbe périplégmatique, bien que la fonction // puisse osciller autour de l'unité, de sorte qu'elle ne devienne jamais négative, ce qui pourrait arriver, si par exemple a^ était égal à I.

* Voir mon mémoire: Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, § 7.