Première Partie. Livre I

7. Une petite modification de l'hypothèse que nous venons d'étudier dans le n** précédent, nous conduit à Téquation d'une courbe périplégmatique. Admettons, à cette fin,

A étant un agrégat périodique auquel se trouve ajoutée une constante.

Maintenant, si nous remplaçons - par i + />, nous arriverons à Féquation

dont l'intégrale s'obtient sous la forme

Cj y C^ , z et u ayant les mêmes significations que dans l'exemple précédent. En supposant v imaginaire, ce qui est nécessaire pour éviter les valeurs de p croissant à l'infini, le résultat que nous venons de déduire se met sous la forme d'un agrégat périodique, d'où Ton conclut que la fonction p oscille entre des limites variables: en conséquence, le rayon vecteur, qui est donné au moyen de l'expression

yji +z

prend, lui aussi, des valeurs extrêmes dont l'amplitude est variable.

Admettons, après avoir mis ip à la place de p, les notations é

l'expression précédente se changera alors dans la suivante:

I + tjcobIvv + p j zdv — r)

32 Traité des Orbites des Planètes.

On saperçoit iramédiatement que le rayon vecteur reste constamment fini, tant que la fonction rj n atteint pas Funité. Pour remplir cette condition, il faut et il suffit que la valeur minima de i + -8? soit plus grande que celle du produit 40^0^. Mais, si cette condition est satisfaite, la trajectoire déterminée par l'équation précédente est une courbe périplégmatique à diastème variable, pourvu quon ait:

En effet, l'expression précédente de 77 pouvant être mise sous la forme

on en conclut que cette fonction oscille autour de lunité sans devenir jamais négative.

Par les considérations précédentes, on a eu l'occasion de se former une idée des deux genres des courbes périplégraatiques: dans le premier de nos exemples, le diastème était constant, dans l'exemple du n^ présent, variable. Mais ces deux genres de courbes jouissent d'une propriété commune, qui leur donne un caractère spécial, à savoir celle que leur diastème dépend de telle manière des constantes introduites par l'intégration qu'il s'annule lorsque ces constantes disparaissent. J'ai nommé, dans quelques travaux antérieures, ce genre de courbes périplégmatiques orbites intermédiaires, parce qu'elles sont, en effet, très propres à représenter d'une manière approximative les mouvements des corps célestes: les courbes du premier genre, les orbites des comètes dans le voisinage d'une planète, celles du second genre, l'prbite de la lune, ainsi que les mouvements d'autres corps célestes, dont les conditions sont analogues à celles de la lune. Particulièrement, quand les arguments dans l'expression de rse composent de deux éléments, ce mode d'aborder les approximations destinées à faire connaître les mouvements de l'astre considéré, est très fertile. Ce cas se présente toujours, lorsqu'il s'agit d'un système de trois corps se mouvant dans un plan unique, si l'orbite du deuxième corps autour du premier, qu'on admet en repos, est un cercle, et que les distances du troisième corps, dont la masse est insensible, à l'un des deux premiers, sont toujours petites par rapport à ses distances de l'autre corps.