Première Partie. Livre I

8. Je vais maintenant considérer un type des courbes périplégmatiques à diastème variable plus général que celui des orbites intermédiaires: je me proposerai, dès labord, de chercher les courbes périplégmatiques dont le diastème ne s'annule pas avec les constantes d'intégration.

L'hypothèse le plus simple relativement à 77 conduisant à de telles courbes, est celle-ci:

n==l+{p,+p,H){i-l)-lA,

H étant une fonction de certains coefficients constants, laquelle nous allons mettre en évidence un peu plus bas, et -4, un agrégat périodique de la forme suivante

A = G\ i—a, I — cr, ... \{v),

I 1— <r, l — ff.

OÙ les y ainsi que les (t sont des petites quantités positives.

Avec l'expression établie de 77, nous obtenons facilement de l'équation (4) la suivante:

dont l'intégrale se trouve immédiatement. En désignant par x et F les deux constantes d'intégration, et par c, une quantité découlant de l'équation

nous arriverons au résultat

(17) yO = C I— c i—a, ... \{v),

OÙ les divers x sont des coefficients s'obtenant en vertu des expressions que voici:

-fi.B)'

-Aff)'

Traité des orbites absolues.

34 Traité des Orbites des Planètes.

Maintenant, si nous admettons que la fonction H soit égale à la somme des carrés de tous les Xi^ et que nous posions, pour abréger,

», = — 2^, + aî+A, »^= — 2^2 + ^? + A^

la fonction sera H obtenue en résolvant Téquation

Evidemment, si les termes de droite sont en nombre fini, Féquation que nous venons d'établir, admet toujours une racine réelle et positive; c'est de même si les y forment une série infinie, que nous supposons toujours convergente comme une progression géométrique, supposé toutefois que les ê soient des quantités positives. Mais aussi dans le cas où le nombre des termes est infini et que parmi eux il se trouve un nombre infini de tf négatifs, Téquation (i8) sera satisfaite par une valeur finie, réelle et positive de AT, et en conséquence, son membre droit, étant exprimé au moyen d une série infinie, restera convergent. En voici la démonstration.

Soit — ê^ la plus grande valeur négative des #, et a?, une quantité plus grande que ê/. alors, il s ensuit que l'inégalité suivante subsiste:

Ty^ j "h I I ïv^ I ^ T'a + ?'« "t" * ' '

(*, + aï)' "^ (*, + ar)' "^ ••• "^ (-*, + «)' "^ ••• "^ (- é», + x)' '

d'où il se dérive celle-ci:

(*. + «)' (*. + «)' ■ ■ ■ {-».-\-xy ■■•>^ P' {-&, + xy ■

Donc, si l'on détermine x en vertu de l'équation

qui admet nécessairement une racine réelle et positive, plus grande que êyy et que Ton introduise cette valeur de x dans le premier membre de