Première Partie. Livre III

Avec les expressions signalées, on parvient facilement aux relations suivantes entre les dérivées partielles:

dû

aJ2 , dû ^ dû

dû

dl ^ dy ^dx'

dû . , jdû . , . jdû . jdû

-7- = — r sin ft cos? r sin b sin / h r cos 6 — ,

do dx dy dz

ainsi quaux relations inverses que voici:

dû

mil dû , A jdÛ * .dû\

1 zr + cos / r cos 6 sin 6 -r ,

cos bdt dr do *

cobI dû , . , — T rr + 8in / cos 6 dl

,dû . ,dû\ r cos 0 sm 6-r >

dr do

dû . ,dû , y dû

On 'déduit encore les formules données ci-dessous, dont la première n*est qu'un simple renversement de la deuxième des équations (8):

9Si m

~y^-îr'

de '

Binh^mldû jdû

cos b dl db

sin 6 cos/ dû , . Tdû

cos b dl db

66. Figurons-nous maintenant qu'on veuille choisir les coefficients a , ^ , ^ , a, , . . . , a', /9', . . . de manière à avoir toujours:

ce qui amènerait la nécessité de déterminer les coefficients dont il s'agit

conformément aux règles du deuxième chapitre du premier livre. Nous

aurons alors:

^ = r cos t? ; 7j = r sinv y

Ç[ =: r' cos v' ; rj[ = r' sin v',

328 Traité des Orbites des Planètes.

et nous parviendrons, en vertu des équations (IV), aux expressions

f = r' {cos {v' — r) cos I — sin {v' — T) sin 2' cos J] , (lo) Yj' = r'[cos{v' — r)8\nI + sin (t;' — T) cos J cos J},

C' = — r' sin Jsin {v' — T).

En mettant, dans les équations (8) et (9), ^, 07 , Cet t; au lieu de x,y yZ et Ij ainsi que rfj au lieu de cos bdb, et en faisant finalement Cégal à zéro, on aura tout de suite:

dû dH

'ac

et puis, les relations réciproques:

(II'

ai? mivdQ . 9j2

— = — + cosv— ,

9c r au ar

ai? cosyai^ . . dQ

Après avoir obtenu les relations précédentes entre les dérivées partielles, nous allons en chercher les expressions qui, du reste, dérivent très facilement des différentes formes par lesquelles on a représenté la fonction perturbatrice. Nous aurons, en effet, par Téquation (2):

dQ dû dû

et nous obtiendrons des expressions tout à fait analogues, si nous remplaçons, soit dans l'expression de Q, soit dans les équations (12), x par $, y par tj et z par C= o. Il viendra ainsi: