Première Partie. Livre III
sin JsinS' = sin i sin (e — e') cos (9' + G')
— (cos i sin i' — sin i cos i' cos (0 — 0')) sin'(9' + G'),
sin J"cos r = — sin i sin (o — 0') sin (9' + G')
— (cos i sin V — sin i cos ê' cos (0 — 0')) cos (0' + (?'). On en tire:
sin J sin (v' — ^') =" — sin i sin (0 — 0') cos (v' — 0')
— (cos i sin i' — sin i cos i' cos (0 — 0')) sin (v' — 0') ;
et maintenant, si nous rappelons l'expression de cos (0 — 0') que nous avons donnée dans le n° 51, que nous remplacions cosi' par la valeur
i-^ini'^(i +f),
que nous introduisons:
I dl
sin i sin (v — 0) = j ; sin ê cos (v — 0) = -.- ,
sin i' sin (v' — 0') = j' ; sin i' cos (v' — 0') = — J^ % , ^ / u 7 \ ^ l + g dv
et finalement, que nous mettions le résultat ainsi obtenu dans la troisième des équations (10), nous aurons:
i^ = cosû' — J cos (v — v') -\ — .1-/ sin (v — v')
r '' 0 \ ^ * l + g dv ^ '
- sin (v — v')
332 Traité des Orbites des Planètes.
Avec cette expression, on obtiendra de l'équation (i7)la suivante
dû
dh
^'^^ '^^-TTgd-v^ + i-^ + ^y-i — (TTf)W )
[jeos(v-vO-^^|sin(v vO]v/i-a'-T^(|y
ce qui est la formule demandée.
67. Lorsqu'il s'agit de développer effectivement les dérivées de la fonction perturbatrice, on pourra opérer de deux manières distinctes. On les trouvera d abord en développant les diverses expressions que nous avons mises en évidence, dans le numéro précédent, mais on les obtiendra aussi au moyen de différentiations directes, si Ton a établi, préalablement, le développement de la fonction perturbatrice elle-même.
Nous allons prochainement développer la fonction perturbatrice dans une série trigonométrique procédant suivant les multiples de langle H. Par cette opération, on obtiendra d'abord les divers coefficients comme fonctions de r et de r'. Mais puisqu'on va exprimer, finalement, r au moyen de la fonction p et, r' au moyen de /?', il conviendra d'effectuer les différentiations par rapport à ces dernières quantités.
Admettons le développement
(19) i! = (/, -f 2C/j COSi?+ 2Î7, C0S2fl+ . . . ,
les Un s'exprimant au moyen de la formule
ou bien par celle-ci:
les A^ ainsi que les B^ étant des fonctions de r'
