Première Partie. Livre I

Finégalité obtenue, on aura évidemment un résultat positif, tandis qu'une valeur de x, un peu plus grande seulement que #^, rend négative la fonction

Or, la fonction f{x) étant continue entre x ayant une valeur un peu plus grande que #^ et x égal à un nombre excédant toute limite, on conclut que cette fonction sannulle pour une valeur de x comprise entre tf^ et la racine excédant &^ de l'équation précédente du troisième degré.

En multipliant Téquation (i8) par ^3, et en désignant ^^H par x, on retombera dans l'expression qu'on a dénotée par f{x). De là s'ensuit déjà la réalité de la fonction B, mais il arrive aussi que l'équation dont il s'agit a plusieurs racines positives. Dans un tel cas, qui, en effet, n'est aucunement rare, il faut des considérations ultérieures pour décider laquelle de ces racines il faut prendre.

Ayant établi la réalité de la fonction H, il sera facile, même sans avoir déterminé sa valeur, de montrer la convergence de la série

à cet égard il suffit de renvoyer le lecteur au paragraphe 7 de mon mémoire nouvelles recherches etc., ou bien, à une lettre adressée à M. Hermite qui a été insérée dans les Comptes rendus de l'académie des sciences de l'institut de France, ï. 108. On y a fait voir, que la valeur absolue de Xi est moindre que

OU tout au plus égale à ce nombre, ce qui conduit au théorème suivant que je mets en évidence, en employant une notation très utile de M. Poincaré:

Les ;• formant une progression géométrique, il en est de même des racines cubiques y/}; on en conclut immédiatement la convergence de la série des X.

86 Traité des Orbites des Planètes.

Si Ton avait supprimé, dans l'équation (16), le terme /Sj-ff, qui existe réellement toutes les fois quil s'agit de déterminer les mouvements des planètes, on n'aurait pas pu montrer la convergence de l'intégrale. Voilà la raison pourquoi on a mis en évidence ce terme, en établissant Thypothèse du cas présent. La fonction H ayant la propriété de limiter et de rendre convergente l'expression de l'intégrale de l'équation linéaire (i6), je l'ai appelée fonction holistique.

9. L'expression de p que nous venons de trouver dans le dernier numéro, se met aisément sous la forme d'un seul terme périodique avec coefficient et argument variables. Pour y arriver, introduisons les notations suivantes, analogues à celles que nous avons employées dans le n*^ 6,

Cela étant, nous serons conduits, immédiatement, aux expressions (20) yo = îy cos ((I — ç)t; — tt)

et

I + 7J COS (( I — Ç)V — r)

La valeur du diastème à un instant déterminé étant donnée au moyen de la formule

(22) • ^— ^o = "riY>

j appelerai vj fonction diastématique: elle est, dans les théories des planètes, une fonction contenant, outre une constante, seulement des termes périodiques qui acquièrent des valeurs constantes lorsque . les vitesses de l'argument disparaissent. Dans ce cas, toute la fonction gy, ayant une valeur