Première Partie. Livre III

Cela étant, si les U^ étaient développés suivant les puissances de (/?) , (/>') , 6 et f, nous obtiendrions la dérivée partielle par rapport à p moyennant la formule

r- = T7-T + 2t7TC0S^+ 2— ^C0S25^ +

La dérivée partielle par rapport à v se trouve immédiatement en utilisant l'expression

opération qui exige, toutefois, que les coswBT soient donnés par les formules que nous avons rassemblées dans le n° 50.

Mais on pourra aussi parvenir au résultat demandé ^en employant la formule (7) du n° 49. On aura, en vertu de cette relation:

(28) Q = CTJ^ + 2 Î7j cos w + 2 Î7j cos 2w + • . •

+ 2{^,,,cr, + «;,itr. + ...}h

où Ion a écrit, pour abréger un peu, w au lieu de v — v'. *

Maintenant, nous remarquons que la relation

dv 9v

est visiblement légitime, ce qui nous permet de conclure lexpression suivante:

— = — 2 Î7j sin W — 4Î7, sin 2 w — . .

^1 3v « ^» av ^ • • •

836 Traité des Orbites des Planètes.

Les dérivées partielles des fonctions V„,n s'obtiennent aisément en vertu des formules indiquées dans le n° 49. On aura, en effet:

-^ = — 4smw: —^==0

I 2 sin w

1 2 sin w

etc.

Quant aux dérivées partielles des fonctions A , /^^, . . . , on les obtient en différentiant lexpression

h = sin i^(i + f) sin (v — e) sin (v' — 9)

— ^ sin i'(i + f) sin (v — 9') sin (v' — 6')

+ -sini'sini''(i + f)(i + f ') cos (9 — 6') sin (v — O) sin (v' — 6')

[voir les formules du n^ 51] ainsi que les puissances de cette expression, Dans les cas, en effet assez fréquents, où Ion peut égalçr h à h^ [voir éqv. (4) du n^ 47], on emploiera tout simplement les expressions (5, a), (6 , a) et (6 , b).

En différentiant l'expression précédente de h, il viendra:

-- = sin è^(i + f) cos (v — 9) sin (v' — 9)

— ^ sin i'' ( I + f ') cos (v — 9') sin (v' — 9')

+ - sin i' sin i''(i + f)(i -f f) cos (9 — 9') cos (v — 9) sin (v' — 9')

^ * av '