Première Partie. Livre III

d où Ton tire, par un calcul tout à fait semblable à celui du n° 5 1 :

cosw

(30) '^ iri±iA+i±£.'^l

^"^ '' 9v 2I1 + g^dv~ l + g ^ dvj

. i(l+fXl+f'), . ,/-9» ^j , ,,-a ,

I (I + fXi + f)

[FTWTTAÏÏ% + »'''i}-'

En ne retenant que les termes du second degré, on aura:

(3-) t=-{â+j'%)^-+ï{{ïï+>-h-+>'%- .

formule qu'on obtient aussi en différentiant, par rapport à v seul, Téquation (10) du n® 51, et en éliminant la seconde dérivée de 3 au moyen de l'équation approchée

Il est en effet visible, par l'équation (55), du n° 23, que la somme formant le premier membre de Téquation indiquée ci-dessus est une quantité du premier ordre par rapport aux forces troublantes.

Quant aux différentiations directes par rapport à t; ou v, il faut remarquer qu'on doit les effectuer avant le changement de l'argument v' en V, et avant avoir remplacé p par son expression dépendant de l'argument diastématique.

68. La dérivée partielle relative à cos-H s'obtient en différentiant les

divers termes du développement (19). Mais il faut y remarquer, toutefois,

la formule

d cosnff BÎnnH

dcos H sin H

qu'on obtient sans difficulté.

Traité des orbites abâolues. 43

338 Traité des Orbites des Planètes.

En vertu de cette formule, on obtiendra, si n est un nombre pair,

d C08 2m H r Tï . T-r . / X ..-^

————= 4m[cOSfl + COSSH + . . . + C08(2W — i)B]y

et si n est un nombre impair:

dcOs(2m + l)ff , . \r . T-^ . -rx . ^^

___J = (2m + i)[i + 2 cos 2^ + 2 cos4ir + . . . + 2 cos 2mH],

Après avoir différentié l'équation (19), il ^n résultera, en considérant les relations établies tout à l'heure:

+ 2[4U, + SU^ + I2Z7, + ...]cosJÏ + 2[6U, + ioIT; + I4Î7, + . . .] C0S2JÏ + ....

Mais cette formule se transforme aisément de manière qu'elle paraît développée suivant les puissances de h. Pour cet effet, il ne faut que substituer les valeurs de cosnH tirées de l'équation (7) du n° 49.

Admettons qu'on ait obtenu ainsi le développement

les W étant des séries trigonométriques procédant suivant les multiples de l'angle w, et dont les coefficients sont certains développements linéaires des fonctions Z7j , t/^ , . . . Nous aurons, en effet, par les opérations indiquées, les expressions suivantes, auxquelles est jointe celle de W^, dont la signification sera élucidée prochainement,

Wq = U^ + 2 C/j cos w + 2 U, cos 2 w + 2 îJg cos 3w + • • • , W, = 2U, + àU, + loU, + I4Ï7, + . . . .

+ [SU, + i6î7, + 24 1/-^ + ...jcosw . ^ {12C73 + 20Î7, + 28C/, + . . .}C0S2W

+ [i6U^ + 24U;. + 32Ï7, + . . .}cos3w