Première Partie. Livre III
W, = ^U, + i2V, + loSU, + 256U, + . . .
+ {24173 + i2o[7, + 336C/7 + 720U, + . . .}cosw + {48?/, + I92f/, + 48ôt7g + . . .}cos2w
W, = 8C/3 + I20Î7, + 6y2U, + 240017, + . . . + [64U, + Sl6U, + 256of73 + . . .jcosw
etc.
La relation
dQ__dQ a C08 ff ~ ah
nous fournit immédiatement un autre mode d'exprimer les fonctions W. On conclut, en effet, facilement que l'intégrale de l'équation (32) peut se mettre sous la forme
(33) i2 = TF, + TT.h + W,\i' + . . . ,
W^ ayant d'abord la signification d'une fonction arbitraire. Mais alors, on trouvera, en comparant l'équation (33) avec l'équation (28): quant à TFJ,, la même expression que nous venons de signaler, et pour les autres fonctions Wy les valeurs suivantes:
etc.
On en pourrait retrouver les formules numériques que nous venons de signaler, toutefois après avoir étendu, un peu, les formules du n** 49.
Mais bien que les expressions données suffisent aux théories des grandes planètes, je vais, néanmoins, chercher un autre mode de représenter les
340 Traité des Orbites des Planètes.
fonctions Wy et j obtiendrai en même temps une nouvelle méthode d'évaluer les fonctions ^\,„^, ce qui pourra être de quelque intérêt théorique.
6g. En se rappelant lorigine des fonctions W^y on s aperçoit sans peine du fait que les coefficients numériques des fonctions C/,, entrant dans les divers TF^, ne sont aucunement dépendants de la nature de la fonction Qy pourvu qu'elle soit une fonction holomorphe de cosH. Cest tout le contraire: chaque fonction de cosH qui se développe dans une série de la forme (19), peut aussi être représentée moyennant un développement de la forme (33). Les entiers figurant comme coefficients des divers développements dont il s agit maintenant, restent constamment les mêmes, seulement les U^ changent. Par cette remarque, on obtiendra les entiers demandés en développant une fonction quelconque de cosJï, ce qui donne lieu à considérer une fonction dont le développement s*opère d'une manière aussi facile que possible.
Dans ce but, supposons que la fonction ii ait la forme assez simple:
Q = [i 2y9cosfl'+^'}~^; alors, les fonctions U^ seront données moyennant la formule générale
D'autre part, si nous posons:
la fonction Q sera représentée moyennant la formule (33). Maintenant, si nous admettons le développement
(35) W^ = Wi""^ + 2Tri["*>cosw + 2Tri'"^cos2w + . . . ,
les coefficients FF^"*^ étant des fonctions de nombres entiers et des fonctions U^y nous aurons généralement:
^: -(''^ Tjz~. ^'+—1 i.2...(.+i) — ^
(m+ i)(tyt + 2) (m + i)(m+ 2)...(m-n; + 2) ^^ "*" 1.3 i.2...(ï;H-2) ^ "*""
