Première Partie. Livre III

Mais cette expression s écrit aussi de la manière suivante:

m+i m + y+i rw + 2 m+i/ + 2 jl^* i

d'où Von conclut, en considérant l'expression de U^y que les coefficients du développement

(36) TFi'-> = Tr U^^, + Tr^", C^.+.+, + . . .

sont donnés par les expressions

rp«,. ^ (m+iXtn + 2)...(m+v) ^^

mm,. tn+i(m+iXm+2)...(m + i;+i)rm + 2m + v+2 i

(m+iXm + 2)(m+iXm + 2).. . (m + ï;+2)rm + 3m+ï;+3

^^^, ^(m+iXm + 2)(m+iXm + 2)...(m + »;+2)rm + 3m+»;+3 i

etc., ou bien, par l'expression générale

mm.. ^m(m+i)...(m+r-i)(m+iXtn + 2)...(m + y + r~i), ^ . ^

Cela établi, si nous comparons, avec l'équation (34, m), le résultat s'obtenant par l'introduction de l'expression (36) dans le développement (35), nous aurons les formules générales que voici:

<P*«+,.«=Tr'»cosw,

342 Traité des Orbites des Planètes.

^«+8.. = T?^' cos w + Tr cos 3w,

<f m+4,« == l Tr + Tr^ cos 2 w + Tr cos 4w, etc.

Voilà les résultats auxquels j ai visé.

70. J'entends par le symbole D^ une différentiation qui porte uniquement sur la variable v , tant qu'elle est mise en évidence dans les fonctions {p) et cos JET. Sont alors considérées comme constantes, outre v' et (/>)', les fonctions 7] cos {tt — /% îy sin (t — T)y I sin {Q — 0), I cos {Q — 0), 7j' COS {tt^ — P) , . . . , f , ^, (î^ et J^', ainsi que les arguments 2) , 2)', ^ et d'.

Par la définition, il vient immédiatement:

OU bien la formule suivante:

(370 D.fi = ?5 + î?D,r.

Que les deux formules en effet sont identique, cela se comprend en vertu de la relation (26).

Par l'expression

{p) = îycosF,

F étant l'argument diastématique, savoir l'angle v — 5) — {tt — r), on obtient sur le champ:

D'un autre côté, en admettant la relation

^)=,sinr(A),

(A) étant une fonction de la même nature qu'on a introduite, dans l'équation (39) du n° 13, il viendra: