Première Partie. Livre III
En introduisant la première de ces valeurs dans Téquation (37), il résultera:
formule qui nous deviendra très utile dans la suite.
Concevons maintenant un terme isolé de i2, savoir:
Q = a(yo)' cos (nv — A)y
où a et A ont la signification de certaines fonctions du temps, ne renfermant pas, toutefois, (/>), ni v. En différentiant ce terme, il viendra:
dû dû
— = sa(/>)-^ cos (nv — A) ; ^ = — MpT ^^^ (^^v — A),
et ensuite:
D,i2 = ^ + ^ Dt(/>) = — saiy* cos F'"^ sin F cos (nv — A)
— naîy" cos F' sin (nv — A).
Mais puisque la fonction cos F' s'exprime par le développement fini cos F' = Sût,5^ cos (s — 2ï;) F , les a étant des coefficients rationnels, an aura aussi:
cos F'"* sin F = ^ °~ a,,.,, sin (s — 2ï;) F .
Avec ces deux expressions, on tire de Téquation précédente le résultat que voici:
(39) D^Q = — aiy'Za,2,{(s — 2v) sin (s — 2ï;)F cos (nv — A)
+ n cos (s — 2v)F sin (nv — A)},
d'où Ion conclut que la dérivée D^Q ne renferme aucun terme dont l'argument soit exempt de l'angle v multiplié par un nombre entier. En effet, un tel terme ne pourrait naître que si l'entier s — 2y était ^al à n ,
344 Traîté des Orbites des Planètes.
mais dans ce cas, la somme des deux termes entre les parenthèses serait égale à:
n sin (nF + nv — A) = n sin (2nv — nfi} — n(;r — F) — A).
Il est donc évident que le terme indépendant de v manque, dans l'expression dont il s'agit, ce qui revient à dire que la dérivée D^û ne contient pas des termes sousélémentaires du type (A).^
Dans ce qui suit, nous allons développer la fonction perturbatrice suivant les puissances de Ç et de f, de manière que nous aurons un résultat de la forme
(40) Q = i2o,o + (1 - î?^ei2i,o + (I - Tirea^^o + . . .
Il s entend, par ce que nous ve;ions de dire, que la dérivée D^Q s obtiendra moyennant la formule
+ (i-,")fD,£o,,+ ...,
et de même on aura l'expression
7 1 . Avant de terminer ce chapitre, je me propose d'établir quelques
relations entre les dérivées partielles relatives aux coordonnées des deux
planètes, relations qu'on pourra utiliser, soit pour les calculs directs, soit
pour les vérifications.
' Quant à cette notation, le lecteur est renvoyé à la page 37.
I Première Partie. Livre III.
Remarquons avant tout les expressions
dû
dx
dû
,\X X X , Xixx + t/V + 22)
g g' g^ , «'(««' + 1/1/' + zz)\
dans lesquelles on peut remplacer, simultanément, x par f , a;' par f, y par îy, etc.
Des deux systèmes (12) et (43), on tire facilement la relation
qui s*écrit aussi:
On obtient ensuite:
9r dr
i'+pfi + <'+pfi=^'
9Q dS ,9Û ,92
relation dans laquelle on peut remplacer, simultanément, x par ^, x' par f, etc. de sorte qu'on aura:
Ensuite, si l'on désigne par ^i , iji , Ci , ^î > îyi > C les coordonnées des deux planètes rapportées à des axes dont deux sont situés dans le plan instantané de la seconde planète, on aura aussi:
9Û 9S g,9Û ,dÛ
Mais, il s'agit avant tout d'obtenir «ne relation entre les quantités
TrtMi in orMfw abtobtt». 44
Traité des Orbites des Planètes.
fr 7r^ ^t fj— r — î7!r^, ce qui revient à dire entre les dérivées —
, aj2
et — , .
3v Dans ce but, remplaçons, dans la troisième des équations (43), z par (JJ et z' par C!' ; nous aurons alors, après avoir égalé, dans le second membre, Cl' à zéro, le résultat
Mais la coordonnée Cj, étant d abord donnée moyennant la formule
C, = A^^ + B^ri, s'exprime aussi, en considérant les formules (9") du n° 54, par celle-ci:
Cl = r sin t/sin (t; — 1), On aura donc finalement:
al?
^, = ;i'r sin Jsin (v — T){^, — ^ .
Le résultat que nous venons de trouver sobtient encore d'une autre manière, un peu moins directe, il est vrai, mais néanmoins, utile à indiquer.
En vertu des équations (IV) du n"* 65, on aura immédiatement les expressions
W.~ ^^ 'ï^'^ âC"
ic;~ '^"^ '^"'' 'ir'
dont la troisième, si l'on considère les valeurs (43), après y avoir remplacé X ,y , z , x^, . . . par ^ , ly , iT, ^1 j • • • > conduit à la formule
-/.Uf + B,v + no(^.
I 3(gf + yiy' + CO^
